ಅಂಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಾಗ ಮಾತ್ರ ನಮಗೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅರಿಯಲು ಸಾಧ್ಯ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ವಿವಿಧ ಗುಂಪುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ‘ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು’ಎಂಬ ಒಂದು ಗುಂಪು ಇದೆ. ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೇವಲ ತನ್ನಿಂದ ಮತ್ತು 1ರಿಂದ ಮಾತ್ರ ನಿಶ್ಯೇಷವಾಗಿ (ಪೂರ್ಣವಾಗಿ)ಭಾಗವಾಗುವುದೋ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ = { 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,….. }

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ‘2’ಮಾತ್ರ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಉಳಿದವುಗಳು ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಎಲ್ಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗುಣ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣ: 2ನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದ ಎಲ್ಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂದರೆ ‘P’ಎಂಬುದು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (2ನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ)ಅದನ್ನು ಅದರ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

‘2’ ಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದನ್ನು ಅದರ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಈ ಗುಣದ ಜೊತೆಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗಣವನ್ನು ‘2’ಸಂಖ್ಯೆ ಹೊಂದಿದೆ. 2ರ ಘಾತ ಸೂಚಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾ ಹೋದಾಗ, ಅದನ್ನು ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ.

ಉದಾ(1):ಘಾತಸೂಚಿ 3ಇದ್ದಾಗ,

ಉದಾ (2): ಘಾತ ಸೂಚಿ 4ಇದ್ದಾಗ

ಅದರಂತೆ, 2ರ ಘಾತಸೂಚಿ 5ಮತ್ತು 6ಇದ್ದಾಗ. ಅದನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಅಂದರೆ,    25 = 92– 72 = 62– 22

26= 172– 152 = 102– 62

ಮತ್ತು 2ರ ಘಾತಸೂಚಿ 7ಮತ್ತು 8ಇದ್ದಾಗ 3ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ.

ಅಂದರೆ,   27 = 332– 312 = 182– 142 = 122– 42

28= 652 – 632 = 342– 302 = 202 – 122

ಹೀಗೆ 2ರ ಘಾತಸೂಚಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಾ ಹೋದಾಗ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ರೀತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಕ್ಕೂ ಸಹ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವಿರುತ್ತದೆ. 2ರ ಘಾತಸೂಚಿ ‘K’ಆದರೆ, ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು Nರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಬರುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ,    ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ
ಮತ್ತು   ಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ

ಆದರೆ, 2ರ ಘಾತಸೂಚಿ 2ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇದ್ದಾಗ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾ(1):  K = 3, ಆದಾಗ   

ಅಂದರೆ, ಘಾತಸೂಚಿ 3ಇದ್ದಾಗ 2ನ್ನು ಅದರ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ರೂಪದಲ್ಲಿ 1ಸಲ ಮಾತ್ರ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾ(2): K = 17, ಆದಾಗ, 

ಅಂದರೆ ಘಾತಸೂಚಿ 17ಇದ್ದಾಗ 2ನ್ನು ಅದರ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ರೂಪದಲ್ಲಿ 8ಸಲ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗೆ, ‘2’ರ ವಿರಾಟರೂಪ ಬೆಳೆಯುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮುಗಿಯದ ಕಥೆ. 2ರ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ