ಏನು ಆಟಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತವೇ?ನಮಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಟಗಳು ಮಾತ್ರ ಗೊತ್ತು ಎಂದು ಮಾತ್ರ ಹೇಳಬೇಡಿರಿ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದ ಹಾಗೆ ಎಲ್ಲ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ವಿಷಯಗಳು ಮುಖ್ಯಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪುರಾತನ ಆಟದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಪಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರಗಳು ಇವೆ. ಇದು ಪುರಾತನ ಆಟವಾಗಿದ್ದು ಆಟಗಾರನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರಣ ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯ ಆಟವಾಗಿದೆ. ಆ ಆಟವೇ ‘ಬ್ರಹ್ಮಾ ಟವರ್’ ಅಥವಾ ‘ಟಾವರ್ ಆಫ್ ಹೊಗೈ’.ಇದರ ಉಪಕರಣ ಸರಳವಾಗಿದ್ದು ಎಲ್ಲರೂ ತಯಾರಿಸಿ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು.

ಬ್ರಹ್ಮಾ ಟವರ್ ಉಪಕರಣದಲ್ಲಿ x yಒಂದು ಸಮತಲವಿದ್ದು ಸಮ ಅಂತರದಲ್ಲಿ 3ಗೂಟಗಳು ಇವೆ (1, 2 ಮತ್ತು 3). ಬೇರೆ ಬೇರೆ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳುಳ್ಳ ಬಿಲ್ಲೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. (A, B, C, …) ಈ ಉಪಕರಣ ಸರಳವೆನಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಆಟ ಮಾತ್ರ ಬಹಳ ಕೌಶಲವನ್ನು ಬೇಡುತ್ತದೆ.  ಈ ಆಟವನ್ನು ಅನೇಕರು ಕೂಡಿ ಆಟವಾಡಬಹುದು. ಯಾರು 1ನೇಗೂಟದಲ್ಲಿಯ ಎಲ್ಲ ಬಿಲ್ಲೆಗಳನ್ನು ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಚಲನೆಗಳಲ್ಲಿ 3ನೇ ಗೂಟಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತಾರೋ ಅವರೇ ಆಟವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾರೆ. ಈ ಆಟವಾಡುವಾಗ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

  • ಒಂದು ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಿಲ್ಲೆಯನ್ನು ಗೂಟದಿಂದ ಗೂಟಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.
  • ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತ್ರಿಜ್ಯವುಳ್ಳ ಬಿಲ್ಲೆಯ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಜ್ಯವುಳ್ಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಇಡಬೇಕು. ಅಂದರೆ, ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಬಿಲ್ಲೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ತ್ರಿಜ್ಯವುಳ್ಳ ಬಿಲ್ಲೆಯನ್ನು ಇಡಬಾರದು.

ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸಿ ಯಾರು ಕಡಿಮೆ ಚಲನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಬಿಲ್ಲೆಗಳನ್ನೂ 1ನೇ ಗೂಟದಿಂದ 3ನೇ ಗೂಟಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತಾರೋ ಅವರೇ ಆಟವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾರೆ. ಈ ಆಟದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಎಷ್ಟು ಚಲನೆಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ ಹಾಗೂ ಎರಡನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಯಾವರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚಲನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು. ಈ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ನಾವು ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಬಗೆಹರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಚಲನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (2n-1)ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ‘n’ ಬಿಲ್ಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಬಿಲ್ಲೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3ಇದ್ದರೆ, ಚಲನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = (23-1) = 8-7 = 7 ಆಗುತ್ತದೆ. ಅದರಂತೆ, ಬಿಲ್ಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 5ಆಗಿದ್ದರೆ.  ಚಲನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 25-1, 32 – 1 = 31ಆಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ ಚಲನೆಯ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ದ್ವಿಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕು. ಅಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಚಲನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆಯೋ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದ್ವಿಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಟ್ಟಿರೂಪದಲ್ಲಿ ಹಚ್ಚಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ 3ಬಿಲ್ಲೆಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಚಲನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 7ಆಗುತ್ತದೆ.

ಚಲಿಸುವ ಬಿಲ್ಲೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಂಡು ದ್ವಿಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ಯಾವ ಬಿಲ್ಲೆ 1ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವನೋ ಆ ಬಿಲ್ಲೆಯನ್ನು ಚಲಿಸುವ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ನಂತರ ಯಾವ ಗೂಟದಿಂದ ಯಾವ ಗೂಟಕ್ಕೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈಗ ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗಿರಬಹುದು ಆಟವು ಎಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಹಾಗೂ ಕೂತೂಹಲವನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. 1ನೇ ಗೂಟದಲ್ಲಿಯ ಬಿಲ್ಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 4 (A, B, C, D)ಇದ್ದರೆ, ಈ ಆಟವನ್ನು ಆಡುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಈ ಆಟದಲ್ಲಿ (24-1) = 16-1 = 15ಚಲನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ ಚಲನೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಈಗ ಆಟದ ಬಗ್ಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಹುದು. ಅದಕ್ಕಿಂತ ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು ‘ಟವರ್ ಆಫ್ ಹೊಗೈ’ದ ಇತಿಹಾಸ. ಬಹಳ ರಂಜನೀಯವಾದದ್ದು. ವಾರಣಾಸಿಯ ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗುಡಿಯ ಗುಮ್ಮಟದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಿತ್ತಾಳೆಯ ಪಟ್ಟಿ ಇದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ವಜ್ರದ 3ಗೂಟಗಳನ್ನು ಸಮ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದೊಂದು ಗೂಟವು 1ಮೊಳದಷ್ಟು ಎತ್ತರವಾಗಿದ್ದು ಕಡಲೆ ಕಾಳಿನಷ್ಟು ದಪ್ಪವಾಗಿವೆ. ಜೀವಿಗಳ ಉಗಮಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲೇ ಬ್ರಹ್ಮನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳುಳ್ಳ 64ಬಂಗಾರದ ಬಿಲ್ಲೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಇಳಿಕೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿದ್ದಾನೆ ಎಂಬ ಪ್ರತೀತಿ ಇದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ ‘ಬ್ರಹ್ಮಾ ಟವರ್’ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.  ಇಷ್ಟಕ್ಕೇ ಮುಗಿಯಲಿಲ್ಲ ಇದರ ರಂಜನೀಯ ಸುದ್ದಿ. 1ೊಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 1ಬಿಲ್ಲೆಯಂತೆ 1ನೇ ಗೂಟದಿಂದ 3ನೇ ಗೂಟಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲ 64ಬಿಲ್ಲೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾವಣೆ ಮಾಡಿ ಮುಗಿಸುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಜಗತ್ತು ನಾಶವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಕಥೆ ಬೇರೆ ಸೇರಿಕೊಂಡಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗುಡಿಯು ನೆಲಸಮವಾಗುತ್ತದೆಯಂತೆ. ಈಗ 64ಬಿಲ್ಲೆಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಚಲನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 264 – 1 = 18,446,744,073,709,551,615.ಕರಾರಿನಂತೆ 1ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 1 ರಂತೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಿಲ್ಲೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾವಣೆ ಮಾಡಲು ಹಲವು ಸಾವಿರ ಮಿಲಿಯನ್ ವರ್ಷಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ನೋಡಿ ಗಣಿತದ ಉಪಕಾರದ ಸ್ಮರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ ಆಟವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಆಟವಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಏನು ಒಂದು ಆಟವಾಡಲು ಇಷ್ಟು ವರ್ಷಗಳೇ ಎಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕೇಳಬೇಡಿರಿ. ಈ ಆಟ ಮನರಂಜನೆಗಾಗಿ.