ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅದರಲ್ಲೂ ಸಸ್ಯ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ನಿಸರ್ಗ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ಸ್ನೇಹವನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು 13ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲೇ, ಥಾಮಸ್ ಅಕ್ವಿನಾಸ್ ಎಂಬ ಸಂಶೋಧಕನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದನು.

ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ಮುದ ನೀಡುವಂತೆ ‘ಸಮ್ಮಿತಿ’ (Symmetry) ಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಆದಷ್ಟು ವಿವಿಧಾಕಾರದ ಎಲೆಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ ಗಮನಿಸಿದರೆ, ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ತ್ರಿಭುಜಾಕಾರ, ನಾಲ್ಕು ಭುಜಗಳ ಆಯತ, ವಜ್ರಾಕೃತಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ, ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ ಇವುಗಳನ್ನು ಎಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಿ ತೆಗೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಚೌಕಾಕಾರದ ಪೂರ್ಣ ಎಲೆ ಸಿಗುವುದು ಬಹಳ ದುರ್ಲಭ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೂ ಉಂಟು. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಜೀವಿಗಳ ಒಂದು ರಚನಾತ್ಮಕ ನಿಯಮ ತನಗಿರುವ ಅವಕಾಶದಲ್ಲೇ ಆದಷ್ಟು ಕನಿಷ್ಠ ಭಾಗವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುವುದು. ಚೌಕದಷ್ಟು ಅವಕಾಶವಿದ್ದರೂ, ಅದರಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿ ವೃತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಸ್ಯ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಎಲೆಗಳು ಧಾರಾಳವಾಗಿವೆ. ಇದೇ ರೀತಿ ಸಮತಲಾಕೃತಿಗಳಾದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ (ನಿಂಬೆ ಹಾಗೂ ಸೀಬೆಎಲೆ)ಪರವಲಯಾಕಾರದ ದೊಡ್ಡ ಪತ್ರೆ, ಅಲ್ಲದೆ ಮಹಾಪರವಲಯ ಎಲೆಗಳೂ ಸಿಗುತ್ತವೆ.

ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲವು ಅಳತೆಯೇ ಇಲ್ಲವೆನ್ನಬಹುದಾದ ‘ಬಿಂದು’ವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಳತೆ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮಣ್ಣಿನ ಒಂದೊಂದು ಕಣವು ಗಸಗಸೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಹೂಗಳ ಪರಾಗಗಳಂತೆ, ‘ಬಿಂದು’ವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ರೇಖಾಕೃತಿಯೂ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ಹುಲ್ಲಿನ (ಪೊರಕೆ)ಕಡ್ಡಿಯು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಎಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ರೆಂಬೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ, ಆ ಕಡ್ಡಿಯ ಮೇಲೆ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಗೆಣ್ಣುಗಳು (Nodes)ಸರಳ ರೇಖೆಯಂತೆ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಗಂಟುಗಳಿರುವ ಗೆರೆಯಂತೆ ಇರುವ ಸರ್ವೆ ಕಡ್ಡಿಯು ಇದಕ್ಕೊಂದು ಸೊಗಸಾದ ಉದಾಹರಣೆ. ಚಿಟ್ಟೆಯ ಮೇಲಿನ ಚುಕ್ಕೆಗಳು, ಕ್ರೋಟನ್ ಎಲೆಯ ಮೇಲಿನ ಚುಕ್ಕೆಗಳು ರೇಖಾಕೃತಿಗಳು ‘ಬಿಂದುಗಳ ಗಣ’ವೆಂದು ಸಾರುತ್ತವೆ. ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ‘ರೇಖಾಗಣಿತ ಬಿಂದುಗಳು’ಎಂದು, ಎಲೆಗಳ ಅಂದರೆ ಸಮತಲಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ‘ಸಮತಲೀಯ ಬಿಂದು’ಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಎಲೆಗಳ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಬಿಳಿ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲಿರಿಸಿ, ಪೆನ್ಸಿಲಿನಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಎಲ್ಲೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಸಮತಲಗಳ ವಿವಿಧ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ಈ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಚಪ್ಪಡಿ ಕಲ್ಲು (ಬಚ್ಚಗಳು) ಗಳು, ಅಮೃತ ಶಿಲೆ, ಕಾಗೆ ಬಂಗಾರಗಳಿಂದ ಹುಡುಕಿ ಕೂಡ ತೆಗೆಯಬಹುದು. ಯಾವುದನ್ನೂ ಕತ್ತರಿಸಿ ತುಂಡರಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.ಅಲ್ಲದೆ ಪಂಚ, ಷಷ್ಟ, ಅಷ್ಟ ಹೀಗೆ ಬಹು ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲೆಗಳು ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ಧಾರಾಳವಾಗಿ ಸಿಗುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಉಪಯೋಗಿಸಿ, ಸೊಗಸಾದ ಬೋಧನಾ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು (Teaching aids)ಸಿದ್ಧ ಪಡಿಸಬಹುದು. ಮುಂದೆ ಈ ಮಾದರಿಗಳು ಫ್ರೌಢಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು, ಕ್ಷೇತ್ರಗಣಿತವನ್ನು ಬೋಧಿಸಲು ಉಪಯೋಗಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ಇದೇ ನಿಸರ್ಗದಿಂದ ಲಭಿಸಿದ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಯ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿ, ಅವುಗಳ (ವೃತ್ತ, ದೀರ್ಘ ವೃತ್ತ, ಪರವಲಯ ಇತ್ಯಾದಿ) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಘನ ರೇಖಾಗಣಿತ

ಈ ಗಣಿತವು ಘನ, ಆಯತ ಘನ, ಶಂಕು, ಪಟ್ಟಕ, ಸ್ಥಂಭ, ಗೋಲ, ಕೋಳಿ ಮೊಟ್ಟೆಯಂತೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಗೋಳ, ಅರ್ಧ ತೆಂಗಿನ ಚಿಪ್ಪಿನ ಆಕಾರದ ಪರವಲಯ ಘನ, ಗೋಪುರ (ಚೌಕ ಮತ್ತು ತ್ರಿಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು)ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಹುಮುಖಿ ಘನಾಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ರಿ.ಪೂ. 380ರಲ್ಲೇ ಪ್ಲೇಟೋ ಮತ್ತು ಅವನ ಅನುಯಾಯಿಗಳು ಅದೆಷ್ಟೊಂದು ಅಸಕ್ತಿ ತಾಳಿದರೆಂದರೆ, ಆ ಘನಾಕೃತಿಗಳು ‘ಪ್ಲೇಟೋವಿನ ಘನಾಕೃತಿ’ಗಳೆಂದೇ ಕರೆಯಲ್ಪಟ್ಟವು. ಪೈಥಾಗೋರಾಸನಿಂದ ಈ ಘನಗಳಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಮಹತ್ವ ಲಭಿಸಿತು. ಆ ಪ್ರಕಾರ ಪಿರಮಿಡ್ (ಗೋಪುರ)ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತಾಳುವ ಅಗ್ನಿಯ ಜ್ವಾಲೆೊ(ತೇಜಸ್ಸು)ಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಸಮತ್ರಿಭುಜ ಮುಖಗಳುಳ್ಳ ತ್ರಿಭುಜ ಗೋಪುರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಕಲ್ಪಿಸಲಾಯಿತು. ಚೌಕ ಘನವನ್ನು (ಅಸಮ ಚೌಕಗಳ –ಷಷ್ಟಮುಖಿ ಘನ)ಪೃಥ್ವಿಗೆ, ಅಷ್ಟಮುಖಿ ಘನವನ್ನು ವಾಯುವಿಗೆ ಮತ್ತು ಜಲಕ್ಕೆ ಸಮತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಂಶತಿ ಮುಖಿ ಘನವನ್ನು (Icosahedron)ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ದ್ವಾದಶ ಪಂಚಮುಖಿ ಘನವನ್ನು (5ಬಾಹುವಿನ 12ಮುಖಗಳು).ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಪಂಚ ನಿಯತ ಘನಗಳು (Regular polyhedra)ಪಂಚಭೂತಗಳನ್ನು ಪೃಥ್ವಿ, ಅಪ್ (ಜಲ),ತೇಜಸ್ಸು, ವಾಯು, ವಿಶ್ವ (ಅಕಾಶ)ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆಂದು ಹೇಳಲಾಯಿತು. ಬಹಳ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಎಳೆಯ ತೆಂಗಿನಕಾಯಿ ಮೊಟ್ಟೆ, ಸುಮಾರಾಗಿ ತ್ರಿಭುಜ ಗೋಪುರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಪಾರಿಜಾತ ಎಳೆಕಡ್ಡಿಯ ತುಂಡಿನಲ್ಲಿ ಷಷ್ಟಮುಖಿ ಘನವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಹೀಗೆ ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲೇ ಅನೇಕ ಘನಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಬಹುದು.

ಅನಿಯತ ಘನಾಕೃತಿಗಳು:ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಆಯತ ಘನವನ್ನು ಅಮೃತಶಿಲೆಯ ತುಂಡುಗಳಿಂದ ಅರಿಸಬಹುದು. ಶಂಕುವಿಗೆ ಸೊಗಸಾದ ಉದಾಹರಣೆ, ಕ್ಯಾರೆಟ್. ಸ್ಥಂಭಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ ಬಿದಿರಿನ ಕಡ್ಡಿಯ ತುಂಡು. ಗೋಲಕ್ಕೆ ಸೀಬೆ ಕಾಯಿ, ನಿಂಬೆಹಣ್ಣು ಇತ್ಯಾದಿ. ಲಂಬ ಪಟ್ಟಕಕ್ಕೆ ಪಾರಿಜಾತ ಕಡ್ಡಿಯ ಸೆಂಟಿಮೀಟರುಗಳುದ್ದದ ತುಂಡು, ಪಂಚ, ಷಷ್ಟ ಪಟ್ಟಕಕ್ಕೆ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿ ಮಧ್ಯದ ತುಂಡು. ದೀರ್ಘ ವೃತ್ತ ಘನಕ್ಕೆ ಮೊಟ್ಟೆ ಮತ್ತು ತೊಂಡೆಕಾಯಿಗಳನ್ನು ಅರಿಸಬಹುದು. ಪರವಲಯ ಘನಕ್ಕೆ ಅರ್ಧ ಕೊಬ್ಬರಿ ಬಟ್ಟಲು ಅಥವಾ ತೆಂಗಿನ ಚಿಪ್ಪು;ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘ ವೃತ್ತ ಘನವನ್ನು (Ellipsoid)ಅಡ್ಡಗಲ ಅಥವಾ ಉದ್ದಗಲ ಬಿಲ್ಲೆಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ, ಆ ಬಿಲ್ಲೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ದೀರ್ಘ ವೃತ್ತವೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಗೆಯೇ ನಿಂಬೆಹಣ್ಣಿನ ಬಿಲ್ಲೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಅಸಮ ವೃತ್ತಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಲೇ ಇವುಗಳು ಅನಿಯತಾಕಾರದ ಘನಗಳು (Irregular Solids).

ಪ್ರಕೃತಿಯ ಗಣಿತದ ಸೊಗಸು ಇಷ್ಟಕ್ಕೇ ಮುಗಿಯಲಿಲ್ಲ. ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸುರುಳಿಗಳು ಸೃಷ್ಟಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಸ್ಯದ ಬಳ್ಳಿ. ಹುರುಳಿ ಕಾಯಿ ಒಣಗಿದಾಗ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ (ಬೀಜಗಳ ಕಾಯಿಯ ಸುರುಳಿ  ಬಸವ ಪಾದದ ಮರದ ಬೀಜಗಳ ಕಾಯಿ)ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಂಕುವಿನ ಸುರುಳಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಉದಹರಿಸಬಹುದು.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸುರುಳಿಗಳು: (1)ಲಘುಗಣಕದ ಸುರುಳಿ (Logarthmic Spiral), (2) ಫೆಬೊನ್ಯಾಚಿ (Fibonacci)ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸುರುಳಿ. ಲಘು ಗಣಕದ ಸುರುಳಿಯಲ್ಲಿ ಹೊರ ಅಂಚನ್ನು ಮುಟ್ಟುವ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಸುರುಳಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಶಂಕುವಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. 2ನೆಯದರಲ್ಲಿ ಸುರುಳಿಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ಮತ್ತು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸೂರ್ಯಕಾಂತಿ ಹೂವಿನ ಮಧ್ಯ ಬೀಜಗಳ ಜೋಡಣೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಬಲ್ಲದು. ಇಲ್ಲಿ ಅವೆರಡು ಸುರುಳಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅವುಗಳು ಫೈಬೊನ್ಯಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 (ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಗೆ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಕೂಡುತ್ತಾ ಹೋಗಬೇಕು).

 

ಪ್ರಕೃತಿಯಿಂದ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣ


A ಸಮತಲೀಯ ಬಿಂದುಗಳು (Coplanar) ಸಮತಲ ಎಲೆಯ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

B ಏಕಾಗತ ಬಿಂದು – O (Point of Concurrence).     ಈ ಎಲೆಯಲ್ಲಿ 8 ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು O ಎಂಬ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸೇರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅಸಂಖ್ಯ ರೇಖೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವೆಂಬ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಇದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

C ವಕ್ರರೇಖೆ (Curved line)

D ಜಿಗ್‌ಜಾಗ್ ರೇಖೆ (Zig Zag line)

ಮೊನೆಯಂಚಿನ ರೇಖೆ

E ಸಮ್ಮಿತಿ ರೇಖೆ (Axis of symmetry) – XY ಎಲೆಯ ಎರಡು ಅನುರೂಪ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

F ಏಕಬಿಂದು ವ್ಯಾಪಿ ರೇಖೆಗಳು OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH, OI ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

G ಛೇದಕ ರೇಖೆ ಹಾಗೂ ಲಂಬಾರ್ಧರೇಖೆ (Intersecting lines and perpendicular bisector) CD ರೇಖೆಗೆ AB ರೇಖೆಯು ಲಂಭವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿನ 90Oಹಾಗೂ 180Oಕೋನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.

H ತ್ರಿಭುಜ (Triangle) ಈ ಎಲೆಯು ತ್ರಿಭುಜಾಕೃತಿ ಎಷ್ಟು ಸುಂದರವಾಗಿದೆ !

I ವಜ್ರಾಕೃತಿ (Rhombus) LMNPಗುರುತಿಸಿರುವ ಈ ಎಲೆ ವಜ್ರಾಕೃತಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ.

J ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (Polygon)  ಈ ಅನಿಯತಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿಯತಾಕೃತಿಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.