ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 10. ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು 1, 2, 5 (ಮೂಲಸಂಖ್ಯೆಯಾದ 0 ಯನ್ನು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿಲ್ಲ). ಈ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತ 8. ಇದು 10‌ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ.

12 ಹೀಗಲ್ಲ. ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು 1, 2, 3, 4, 6. ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ 16. ಇದು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ 12ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚುಉ. 6ರ ಬಿಡಾರ ಬೇರೆ. ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತ ಇದೆ: 1+2+3 = 6. ಆದ್ದರಿಂದ 10 ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತ ಕುರಿತಂತೆ ‘ಉನ್ನತ’ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಯೂ 12 ‘ಅವನತ’ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಯೂ 6 ‘ಸಮ’ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಇವೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. 10 ಮತ್ತು 12 ಎರಡರಲ್ಲಿಯೂ ಕಂಡುಬರದ ಒಂದು ತೆರನಾದ ‘ಪರಿಪೂರ್ಣತೆ’ 6ರಲ್ಲಿ ಇದೆಯೆಂದು ಭಾಸವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರಣದಿಂದ 10ನ್ನು ಅಧಿಸಂಖ್ಯೆ (abundant number) ಎಂದು 12ನ್ನು ಅವಸಂಖ್ಯೆ (defective number) ಎಂದೂ 6 ನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ (perfect number) ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಇಂಥ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಷ್ಟಿವೆ? ಬೇರೆ ಬಗೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇವೆಯೇ? ನಮ್ಮ ಅಳವಿಗೆ ನಿಲುಕುವ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 39, 63, 115, 207 ಎಂಬ ನಾಲ್ಕು ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ. ಇವುಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 1, 3, 13; 1, 3, 7, 9, 21; 1, 3, 9, 23, 69. ಇಲ್ಲಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಆಯಾ ಮೂಲಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ನಾಲ್ಕು ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಅಧಿಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ. ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ದೊಡ್ಡ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೂ ಅಪವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಹಣುಕದು.

ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಾಲೀಪುಲಾಕನ್ಯಾಯ (ತಪ್ಪಲೆಯೊಳಗಿನ ಅನ್ನದ ಎರಡು ಅಗುಳುಗಳನ್ನು ಬೆರಳಿನಿಂದ ಹಿಚುಕಿ ನೋಡಿ ಅನ್ನದ ಮೊತ್ತವೇ ಬೆಂದಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಕ್ರಮ) ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸಮಸ್ತ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಅಧಿಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಅಧಿಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ತಿರಸ್ಕಾರದ ಕಿಲಕಿಲ ಕೆನೆತ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಏಡಿಸದಿರದು: ಏಕೆಂದರೆ 1 ರಿಂದ 9ರವರೆಗಿನ ಮೊದಲ ಐದು ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸತತ ಗುಣಲಬ್ಧ 945ನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ನೋಡಿ. ಇದಕ್ಕೆ ಹದಿನೈದು ಅಪವರ್ತನಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ 975. ಆದ್ದರಿಂದ 945 ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೂ ಅವಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದೆ. ಬೆಸಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಪಕ್ಷಾಂತರಿಗಳಿದ್ದಾರೆ ಜಾಗ್ರತೆ!

ಈಗ 14, 24, 64, 100 ಎಂಬ ನಾಲ್ಕು ಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ 14, 64 ಅಧಿಕಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ 24, 100 ಅವಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇವು ವಿಶೇಷ ತ್ರಾಸ ಒಡ್ಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿಜನರಂತೆ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಸುಲಭಗಮ್ಯ ಬೋಳೆ ಮಂದಿ!

ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಸರಿಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: 284, 496.

ಇನ್ನೂ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, ಅದೇ 496ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496, ಅದೇ! ಆದ್ದರಿಂದ 28 ಮತ್ತು 496 (6ರಂತೆ) ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಳವಡುವುವೆಂದಾಯಿತು: ಅಧಿಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅವಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಾಲ್ಕನೆಯ ವರ್ಗ ಇಲ್ಲ.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶೋಧದ ಕೀರ್ತಿ ಕ್ರಿಸ್ತಪೂರ್ವ ದಿನಗಳ ಗ್ರೀಕರಿಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಮಾನವನಿರ್ಮಿತಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಸ್ವತಃ ಭಗವತ್ಸೃಷ್ಟಿಯಾದ ಮಾನವನಿಗಿಂತ ಅಧಿಕ ಮಹತ್ತ್ವವನ್ನೂ ಅನುಭಾವೀ ಗುಣವನ್ನೂ ಕಂಡರು. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಶ್ವರಹಸ್ಯದ ಕೀಲಿ ಧರಿಸಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ನಂಬಿ ಆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಗೀಳಾಗಿ ಹಮ್ಮಿಕೊಂಡಿದ್ದರು.

ಆ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಗೊತ್ತಿದ್ದುದು ನಾಲ್ಕು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ: 6, 28, 496, 8128. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ 6ರಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಗುಣ ಉಂಟು. ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಸಂತತ ಗುಣಲಬ್ಧವೂ ಇದೇ: 1 x 2 x 3 = 1+ 2 + 3 = 6. ತೆರನಾಗಿ ಉಭಯ ಗುಣ ಸಮಾವೇಶಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಇನ್ನೊಂದಿಲ್ಲ. ಭಗವಂತ ಈ ಮರ್ತ್ಯಲೋಕವನ್ನು ಕೇವಲ ಆರೇ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ಎಂಬ ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್‌ನಂಬಿಕೆಯ ಆಧಾರ ಈ ಅನುಭಾವೀ ಗುಣವಾಗಿರಬಹುದು?

ಐದನೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 33,550,336. ಇದು ಕ್ರಿಸ್ತಶಕ ಸುಮಾರು 1460ರಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿಗೆ ಬಂದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಯಾರು ಎಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಿದರೆಂಬ ಸಂಗತಿ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ. ಆರನೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 8,589,869,056. ಇದರ ಸಮಸ್ತ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನೂ ಹುಡುಕಿ ಹೆಕ್ಕಿ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗವುದೆಂದು ರುಜುವಾತಿಸುವುದೊಂದು ಕುತುಹಲಕಾರಿ ಅಭ್ಯಾಸ.

ಇಂಥ ಬೃಹತ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆ ವ್ಯವಹಾರ ನಡೆಸುವುದು ಅಧುನಿಕ ಗಣಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿಯೂ ಯಂತ್ರ ವಿಧಿಸುವ ಸೀಮಿತಗಳು ಇದ್ದೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಂತವೇ ಅನಂತವೇ? ಅನಂತವೆಂದಾದರೆ ಪರಿಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗಣಿತ ಸೂತ್ರವಿದೆಯೇ? (ಉದಾಹರಣೆಗೆ nಗೆ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ 2n – 1 ಸಮಸ್ತ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ 2n ಸಮಸ್ತ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ‘ಉದುರಿಸಿಸುವ’ ಗಣಿತ ಸ್ಯಮಂತಕ ಮಣಿಗಳು.) ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಉತ್ತರ ದೊರೆತಿಲ್ಲ.

ಕ್ರಿಪೂ 4ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ಸೀಮಿತ ಸೂತ್ರವೊಂದನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾನೆ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ಮುಂತಾದ ಅಪವರ್ತನರಹಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅವಿಭ್ಯಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು (prime numbers) ಹೆಸರು. ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಪ್ರಕಾರ 2n-1 ಎಂಬುದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದಾಗ 2n-1(2n-1) ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127 ಎಂಬ ಹನ್ನೆರಡು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ 2n-1 ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ಸದ್ಯ ತಿಳಿದಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ nಗೆ 2, 3, 5, 7 ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (6, 28, 496, 8128) ನೀವೇ ಪಡೆಯಬಹುದು n = 13 ಆದಾಗ 2n-1 = 8191 ಇದೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂದಮೇಲೆ ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ 212(213-1) = 33,550,336 ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಬೇಕು. ಇದಕ್ಕೆ ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಅಪವರ್ತನಗಳಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಅಪವರ್ತನ 1, ಗರಿಷ್ಠ ಅಪವರ್ತನ 16,775,168. ಈ ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತ 33,550,336. ಹೀಗೆ n = 13 ಆದಾಗ ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಸೂತ್ರ ನಿಜ. n = 17, 19 ಮುಂತಾಗಿ ಮುನ್ನಡೆದರೆ ನಾವು ಬೃಹತ್ಸಂಖ್ಯಾಸಾಗರದ ಗಂಭೀರ ಗರ್ತದಲ್ಲಿ ಅತಿ ಶೀಘ್ರವಾಗಿ ಮಾಸಿಹೋಗುವುದು ಖಾತ್ರಿ. ಅಲ್ಲಿ ಗಣಕವೊಂದೇ ನಮ್ಮನ್ನು ದಡಹಾಯಿಸಬಲ್ಲ ಸಾಧನ, ಅದೂ ಒಂದು ಮಿತಿಯವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ.

n = 126 ಆದಾಗ (2n-1) ರ ಬೆಲೆ 170,141,183,460,496,231,731,687,303,715,814,105,727. ಇದೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ 2126(2127-1) ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಬೇಕು. ಇದು ನಿಜ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ‘ಕೇವಲ’ ಎಪ್ಪತ್ತೇಳು ಅಂಕೆಗಳಿರುವವು! ಓದುಗರು ಇದನ್ನು ಗಣನೆಮಾಡಿ ಬರೆದು ಇದರ ಸಮಸ್ತ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನೂ ಶೋಧಿಸಿ ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಇದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗುವುದೆಂಬುದನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಿ ಧನ್ಯರಾಗಬಹುದು! (ಇಂಥ ಚಿರಿ ಚಿರಿ ಚಿಲ್ಲರೆ ಎಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತಾಧ್ಯಾಪಕರು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗೊಕ ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿ ಕೊಟ್ಟು ತಾವು ಸುಖ ನಿದ್ರಾವಶರಾಗುವುದು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ನಡೆದುಬಂದಿರುವ ಸತ್ಸಂಪ್ರದಾಯ!)

ಸದ್ಯ (1998) ಗಣಕಗಳು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿರುವ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂವತ್ತೇಳನೆಯದು: 23021376(23021377-1) ಇದರಲ್ಲಿ 1,819,050 ಅಂಕೆಗಳಿವೆ. ಇದನ್ನು ಪೂರ್ತಿ ಬರೆಯಲು ಈ ಪುಸ್ತಕದ 1400ಕ್ಕಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಪುಟಗಳು ಬೇಕು!

ಇದನ್ನು ಮೀರಿಸುವ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಯೇ? ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶ್ರೇಣಿಸಾಂತವೇ ಅನಂತವೇ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಪರಿಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದೆಯೇ? ಇವೆಲ್ಲ ಇಂದು ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ವಿವೃತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (open questions).

ಎರಿಕ್‌ಟೆಂಪಲ್‌ಬೆಲ್‌ಎಂಬ ಗಣಿತ ಚರಿತ್ರಕಾರರ ಪ್ರಕಾರ, “ಗಣಿತ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತವೇ ಕೊನೆಯ ಬೃಹತ್‌‘ಅನಾಗರಿಕ’ ಭೂಖಂಡ ಅತ್ಯಂತ ಫಲವಂತವಾಗಿರುವ ಆದರೆ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಯೋಗಕ್ಷೇಮ ಕುರಿತಂತೆ ತೀರ ಉದಾಸೀನವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರ ಸರ್ಕಾರದ (ಕೇಂದ್ರ ನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ) ಸುಳುಹು ಕೂಡ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ದೇಶಗಳಾಗಿ ಇದು ಒಡೆದು ಹೋಗಿದೆ. ನವ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯವೊಂದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಯಾವನೇ ಯುವಕ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್‌ಕಾತರನಾಗಿ ತಹತಹಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ ಇಲ್ಲಿದೆ ಅವನಿಗೊಂದು ಹೊಸ ಸವಾಲು. ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅದರ ಡೇಕಾರ್ಟೆ ಇನ್ನೂ ಬಂದಿಲ್ಲ. ನ್ಯೂಟನ್‌ಅಂತೂ ಹೇಗೂ ಬಂದೇ ಇಲ್ಲವಷ್ಟೇ!”

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಪಂಚ ಇನ್ನೂ ಅಪರಿಪೂರ್ಣವೇ ಆಗಿ ಉಳಿದಿದೆ.

ಆರರ ಬೆನ್ನೇರಿ ಸಾಗಿದಾಗ

ಗ್ರಹಗಳು ಸೂರ್ಯನನ್ನು ವಿವಿಧ ವರ್ತುಳೀಯ ಕಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತಿವೆ ಎಂಬುದಾಗಿ ನಿಕೋಲಾಸ್‌ಕೊಪರ್ನಿಕಸ್‌(1473-1543) ಸಾರಿದ. ಈ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಗುಣಧರ್ಮ ಅರಸಲು ಯೋಹನ್‌ಕೆಪ್ಲರ್‌(1571-1630) ಮುನ್ನುಡಿ ಇಟ್ಟು ಯಶಸ್ವಿ ಆದ. ಈತ ರುಜುವಾತಿಸಿದ ಗ್ರಹಚಲನಿಯಮಗಳ ಸಾರವಿದು: ಗ್ರಹಕಕ್ಷೆಗಳ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲ – ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು; ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಲ್ಲಿಯೂ ಸೂರ್ಯನ ಸ್ಥಾನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ನಾಭಿ; ಸೂರ್ಯನನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ ಗ್ರಹವು ಸಮಕಾಲಾವಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ ಸಲೆಗಳನ್ನು ರೇಖಿಸುತ್ತದೆ; ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಪರಿಭ್ರಮಣೆ ಮುಗಿಸಲು ಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಬೇಕಾಗುವ ಕಾಲಾವಧಿ ಸೂರ್ಯ – ಗ್ರಹ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸುಭದ್ರ ಪಂಚಾಂಗದ ಮೇಲೆ ಐಸಾಕ್‌ನ್ಯೂಟನ್‌(1642-1727) ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣನಿಯಮದ ಜಗದ್ಭವ್ಯಸೌಧ ನಿರ್ಮಿಸಿದ.

ಇಂಥ ಪ್ರಖರಗಣಿತಮತಿ ಕೆಪ್ಲರ್‌ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಡೆದದ್ದು ಕ್ಷುದ್ರ ಗಣಿತದ ಅಭದ್ರ ದಾರಿಯ ಮೇಲೆ ಎಂದರೆ ನಿಮಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಪರಂಪರೆಯ ಶಿಶುವಾದ ಭಗವದ್ಭಕ್ತ ಕೆಪ್ಲರ್‌ಸಂಖ್ಯೆ 6ರ ಅನುಭಾವೀ ಗುಣಗಳಿಂದ ಸಂಮೋಹಿತನಾಗಿದ್ದ. ಇದೊಂದು ತೆರನಾದ ಅಮಲು. ಚಿತ್ತಭ್ರಾಂತಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಾಗಲೀ ಮಾನವ ನಿರ್ಮಿತಿಗಳಾದ ಭಾಷೆ, ಸಂಖ್ಯೆ, ಗಣಿತ, ಯಂತ್ರ, ತಂತ್ರ ಮುಂತಾದವುಗಳಲ್ಲಾಗಲೀ ಯಾವುದೇ ದೈವಿಕ ಗುಣನಿಹಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ದೈವಿಕ ಗುಣ ಎಂಬುದೇ ಮಾನವನ ಕಲ್ಪನೆ. ಕೆಪ್ಲರನ ಚಿಂತನೆ ಹರಿದ ಬಗೆ:

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, 6 ಏಕೈಕ ಗುಣಪೂರಿತವಾದ ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ: 1 x 2 x 3 = 1 + 2 + 3 = 6.

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಸೌರವ್ಯೂಹದಲ್ಲಿ 6 ಗ್ರಹಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ: ಬುಧ, ಶುಕ್ರ, ಭೂಮಿ, ಕುಜ, ಗುರು, ಶನಿ. (ಅಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದವು ಇವು ಮಾತ್ರ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಅಮೂರ್ತಗಣಿತಕೋವಿದ ಪರಮಾತ್ಮನ ಮೂರ್ತರೂಪವಲ್ಲವೇ ಈ ಗ್ರಹಗಳು! ಫಲಜ್ಯೋತಿಷಿಗಳ ಸ್ಫೂರ್ತಿಯ ಕುಂಭ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಡುಂಬೊಲವಿದು.)

ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್‌ಘನಾಕೃತಿಗಳೆಂಬ ಹೆಸರಿನ (platonic solids) ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಐದು ಸಮಬಹುಫಲಕಗಳಿವೆ (regular polyhedra). ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಇವು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿವೆ. ಈ ಯಾವುದೇ ಸಮಬಹುಫಲಕವನ್ನು ಪರಿವೃತ್ತಿಸುವಂತೆ (circumscribe) ಮತ್ತು ಅಂತಃಸ್ಪರ್ಶಿಸುವಂತೆ (insphere) ಎರಡು ಏಕ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಗೋಳಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

ಕೆಪ್ಲರ್‌ಚಿಂತಿಸಿದ್ದು ಹೀಗೆ: ವಿವಿಧ ಗಾತ್ರಗಳ ಈ ಐದು ಸಮಬಹುಫಲಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿಕೊಂಡು ಒಂದರ ಹೊರಗೆ ಇನ್ನೊಂದರಂತೆ ಅಳವಡಿಸೋಣ: ಒಳಗಿನದರ ಪರಿಗೋಳ (circumsphere) ಹೊರಗಿನದರ ಅಂತರ್ಗೋಳ (insphere) ಆಗುವಂತೆ ಬಹುಫಲಕಗಳ ಗಾತ್ರಗಳು ಇರಬೇಕು; ಆಗ ನಮಗೆ 6 ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ಗೋಳಗಳು ಲಭಿಸುತ್ತವೆ; ಇವುಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಸೂರ್ಯನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಸೂರ್ಯ – ಗ್ರಹ ಅಂತರಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. “ಈ ಆವಿಷ್ಕಾರದಿಂದ ನನಗೆ ಆದ ಆನಂದವನ್ನು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಣಿಸಲಾರೆ!” ಎಂಬುದಾಗಿ ಭಕ್ತಿಭಂಡಾರಿ ಭಾವುಕ ಶಿರೋಮಣಿ ಕೆಪ್ಲರ್ ಉದ್ಗರಿಸಿದ್ದಾಎ (1565). ಆದರೆ ನಿಸರ್ಗದ ಮರುಕಹೀನ ನಿಕಷದಲ್ಲಿ ಭಕ್ತಿ ಭಾವುಕತೆಗಳಿಗೆ ಎಡೆ ಇಲ್ಲ!

ಮುಂದೆ ಈ ತಪ್ಪು ಹಾದಿ ತೊರೆದು ಒಪ್ಪು ದಾರಿ ಕಡಿದು ಸರಿಯಾದ ಗುರಿ ತಲುಪಲು ಆತ ಅಕ್ಷರಶಃ ಅಹರ್ನಿಶಿ ಒಂದು ದಶಕ ಪರ್ಯಂತ ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಗಣನೆಗಳ ಗೊಂಡಾರಣ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಂಡಲೆಯಬೇಕಾಯಿತು. ಕೊನೆಗೂ ಜಯಶೀಲನಾದದ್ದು (1605)ಅವನ ನಿಜಗಣಿತ ಪ್ರತಿಭೆಗೆ ಉಜ್ಜ್ವಲ ನಿದರ್ಶನ.

ನೀತಿ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಮಾರ್ಥ ಹುಡುಕಲು ಹೋಗಿ ವ್ಯರ್ಥ ಕಾಲಹರಣ ಮಾಡಬೇಡಿ. ಪರಮಾತ್ಮ ಇರುವುದೇ ಆದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತ ಕ್ಷುದ್ರ ಮನುಷ್ಯ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆತ ತನ್ನ ಲೀಲೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾರ. ಹಾಗೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರೆ ಆತ ಪರಮಾತ್ಮನಾಗಲಾರ. ವಸ್ತುತಃ ಮಾನವನ ಪರಮಶ್ರೇಷ್ಠ ಉಪಜ್ಞೆ (invention) ದೇವರು.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಏರಿ ಬಂದ ಮಜಲು

ಜೆರೆಸಾ ಎಂಬಲ್ಲಿಯ ನಿಕೋಮ್ಯಾಕಸ್‌ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ Introduction arithmeticaದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಿಯ ತನಕ (ಕ್ರಿ.ಶ. 2ನೆಯ ಶತಮಾನಾರಂಭ) ತಿಳಿದಿದ್ದ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾದಿ ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ : 6, 28, 496, 8128.

ಹ್ಯೂಡಲ್‌ರಿಚಸ್‌ರೀಜಿಯಸ್‌ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ Ultriusque arithmeticesನಲ್ಲಿ ಐದನೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 33,550,336 ಹೆಸರಿಸಿದ್ದಾನೆ. (1536).

ಪಿಟ್ರೋ ಎ. ಕಟಾಲ್ಡಿ ಆರನೆಯ ಮತ್ತು ಏಳನೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶೋಧಿಸಿದ್ದಾನೆ: 8,589,869,056 ಮತ್ತು 137,438,691,328 (ಕ್ರಿ. ಶ.1603).

ಪುಟ 128ರಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವಂತೆ 37ನೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆವಿಷ್ಕೃತವಾಗಿದೆ (1998).

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌(ಕ್ರಿಪೂಸು 4ನೆಯ ಶತಮಾನ). ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೊಡುವ ಸೂತ್ರ ನೀಡಿದ : 2n – 1(2n – 1). ಇದರಲ್ಲಿ 2n – 1 ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದಾಗ nನ ಸಮಸ್ತ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಈ ಸೂತ್ರ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಲರ್‌(ಕ್ರಿ. ಶ. 1707 – 83)ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದೆ ಹೋಗಿ ಈ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಗಣಿತ ಸಾಧನೆ ನೀಡಿದ. ಮುಂದೇನು? ನವನವೋನ್ಮೇಷಶಾಲಿ ಪ್ರತಿಭಾವಂತರಿಗೆ ಕದ ತೆರೆದಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಹಾರುತಿದೆ ನೋಡಿದಿರಾ!
ಮುಟ್ಟದೆ
ದಿಙ್ಮಂಡಲಗಳ ಅಂಚ
ಆಚೆಗೆ
ಚಾಚಿದೆ ತನ್ನ ಚುಂಚ
ಹಾರಲು
ಯತ್ನಿಸೊ ವೀರನೆ ಕೊಂಚ!
ನಿನ್ನನು
ಗೌರವಿಸುವುದು ಪ್ರಪಂಚ ||
(ಬೇಂದ್ರೆಯವರ ಕ್ಷಮೆ ಕೋರಿ)

(1995).