ಈ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಓದುಗರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ತಿಳಿದದ್ದೇ – ನರಕದಲ್ಲಿ ಸ್ವರ್ಗವನ್ನು ಅರಸಿದಷ್ಟೇ ವ್ಯರ್ಥ ಸಾಹಸವಿದು. ಜನರ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತವಿದ ಹೇಗಿದ್ದಾನೆಂದು ಎರಿಕ್ ಟೆಂಪಲ್ ಬೆಲ್ ಎಂಬ ಗಣಿತ ಚರಿತ್ರಕಾರ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. “ಬೇರೆ ಎಲ್ಲ ಬೌದ್ಧಿಕ ವರ್ಗಗಳಿಗಿಂತಲೂ ಗಣಿತವಿದರ ವರ್ಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನರಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಪರಿಚಿತವಾದದ್ದು. ಕತೆ ಕಾದಂಬರಿಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತವಿದನದು ಇವನ ಸಮೀಪ ಸಂಬಂಧಿ ವಿಜ್ಞಾನಿಯದಕ್ಕಿಂತ ವಿರಳವಾಗಿ ಬರುವ ಪಾತ್ರ ಇನ್ನು ಇವನೇನಾದರೂ ಕಾದಂಬರಿಯ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಿನಿಮಾ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಂದನೋ ಅದೊಂದು ವಿನೋದಮಯ ಸನ್ನಿವೇಶವೇ ಸರಿ – ಲೋಕಪ್ರಜ್ಞೆ ಇರದ ಹರಕು ವೇಷದ ಗುಂಗಿನ ಸಂಕೇತವೀತ.”

ಇದರ ಕಾರಣ ಸುಲಭ. ಗಣಿತವಿದನ ಸೃಜನಶೀಲ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರತ್ಯಕ್ಷ ಪ್ರಭಾವ ಲೋಕಕ್ಕೆ ತಿಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಸಂಶೋಧನಾ ಫಲಗಳು ಹೀಗಲ್ಲ ಯಂತ್ರಗಳೇ? ಔಷಧಿಗಳೇ? ರೇಡಿಯೊ ಮುಂತಾದ ಉಪಕರಣಗಳೇ? ಗಣಕವೇ? ಇಲ್ಲೆಲ್ಲ ಈ ಯಂತ್ರಬ್ರಹ್ಮನನ್ನು ಕುರಿತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನರಿಗೆ ಭಯಭಕ್ತಿ ಗೌರವ ಬೆಳೆದು ಬರುವುದು ಸಹಜ. ಅಂದ ಮಾತ್ರಕ್ಕೆ ಗಣಿತವಿದನ ಸಾಧನೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾದುದಲ್ಲವೆಂದಾಗಲೀ ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕ್ರಿಯೆಗಳಷ್ಟು ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿಯಾದುದಲ್ಲವೆಂದಾಗಲೀ ತಿಳಿಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಲ್‌ಗೌ (1777 – 1855) ಎಂಬ ಗಣಿತಸೀಮಾಪುರುಷನ ಮಾತಿನಲ್ಲಿ “ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ರಾಣಿ ಗಣಿತ.” ಬೌದ್ಧಿಕ ಸಂಸ್ಕಾರಕ್ಕೆ, ಆನಂದಕ್ಕೆ, ತನ್ಮಯತೆಗೆ ಗಣಿತದಂಥ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗ ಇನ್ನೊಂದಿಲ್ಲ.

ಝೀನೋ ಎತ್ತಿದ ಪ್ರಶ್ನೆ

ಒಂದಾನೊಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಆಮೆಗೂ ಮೊಲಕ್ಕೂ ಓಟದ ಸ್ಪರ್ಧೆ ಏರ್ಪಟ್ಟಿತು. ಮಂದಗಾಮಿತ್ವಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯ ಶಬ್ದ ಆಮೆಯಾದರೆ ಕ್ಷಿಪ್ರಗಾಮಿತ್ವದ ಇನ್ನೊಂದು ಹೆಸರು ಮೊಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಡಿನ ಮಹಾಪ್ರಾಣಿಗಳು ಸೇರಿ ಈ ಎರಡು ಅಸಮವೇಗಿಗಳ ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ಆಮೆಗೆ ಒಂದು ರಿಯಾಯತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದುವು – ಆಮೆ ಓಟತೊಡಗುವ ಸ್ಥಾನ ಮೊಲದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕಿಂತ 100 ಮೀಟರ್ ಮುಂದಿರಬೇಕು; ಏಕ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಆಯಾ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಓಟ ಆರಂಭವಾಗಬೇಕು; ಗುರಿಸ್ಥಾನ ಒಂದೇ; ಅದನ್ನು ಮೊದಲು ತಲಪುವ ಸ್ಪರ್ಧಿ ವಿಜಯಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕೇಳಿರುವ ಹಳೆಯ ಕತೆ ಮುಂದೆ ಚಮತ್ಕಾರದ ಹಾದಿ ತುಳಿಯುತ್ತದೆ – ಕೇಲವೇ ಜಿಗಿತಗಳಲ್ಲಿ ಆಮೆಯನ್ನು ಅದೆಷ್ಟೊ ಹಿಂದೆ ಹಾಕಿ ಧಾವಿಸಿದ ಮೊಲಕ್ಕೆ ಅತಿ ವಿಶ್ವಾಸ ಮೂಡಿ ಪಥಮಧ್ಯೆ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುವ ಬಯಕೆ ಉಂಟಾಯಿತು; ವಿಶ್ರಾಂತಿ ನಿದ್ರೆಯಾಯಿತು; ನಿದ್ರೆ ತಿಳಿದೇಳುವಾಗ ಆಮೆ ಗುರಿ ತಲುಪಿ ವಿಜಯಿಯಾಗಿತ್ತು!

ಗ್ರೀಸ್‌ದೇಶದ ಗಣಿತವಿದ ಝೀನೋ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.ಸು. 494 – 435) ಈ ಕಥೆಯನ್ನು ಬೇರೆ ಒಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ (ಗಣಿತಚಮತ್ಕಾರ ಎನ್ನಿ ಬೇಕಾದರೆ) ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ. ಮೊಲ ನಿದ್ರೆ ಮಾಡದೇ ಇದ್ದರೂ – ಎಂದರೆ ಸರಿಯಾಗಿಯೇ ಓಡಿದ್ದರೂ – ಈ ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ಎಂದೂ ವಿಜಯಿಯಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಇಷ್ಟು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಅದಕ್ಕೆ ಆಮೆಯ ಬೆನ್ನು ಹಿಡಿಯುವುದು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಆತನ ತರ್ಕಸರಣಿ ಮುಂದೆ ವಿವರಿಸಿದಂತಿತ್ತು. ಇಲ್ಲಿ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಗೋಸ್ಕರ) ಮೊಲದ ವೇಗ ಆಮೆಯ ವೇಗದ ಹತ್ತರಷ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮೊಲಆಮೆ ಅಂತರ 100 ಮೀಟರುಗಳು.
ಮೊಲ ಅಂತರವನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾಗ ಆಮೆ ಸಾಗಿದ ದೂರ 10 ಮೀಟರುಗಳು
ಈಗ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ 10 ಮೀಟರುಗಳು
ಮೊಲ ಅಂತರವನ್ನು ಗಮಿಸುವಾಗ ಆಮೆ ಸಾಗಿದ ದೂರ 1 ಮೀಟರ್
ಈಗ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ! ಮೀಟರ್
ಮೊಲ ಅಂತರವನ್ನು ಗಮಿಸುವಾಗ ಆಮೆ ಸಾಗಿದ ದೂರ 0.1 ಮೀಟರ್
ಈಗ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ 0.1 ಮೀಟರ್.

ತರ್ಕವನ್ನು ನೀವು ಎಷ್ಟು ಕಾಲ ಬೇಕಾದರೂ ಮುಂದುವರಿಸಿ. ಮೊಲ ಮಾತ್ರ ಎಂದೂ ಆಮೆಯ ಬೆನ್ನು ಹಿಡಿಯದು (ಮೊಲ – ಆಮೆ ಅಂತರ ಸೊನ್ನೆ ಆಗದು); ಇನ್ನು ಅದನ್ನು ಹಿಂದೆ ಹಾಕಿ ಮುಂದೆ ಸಾಗುವುದಂತೂ ಇಲ್ಲವಷ್ಟೆ! ಇಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಆಸಾಧುವಾದದ್ದೇನೂ ಇಲ್ಲ; ಯಾವ ಚಮತ್ಕಾರವೂ ಇಲ್ಲ ; ಬದಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿ ಬಿಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಬರೆದಿದೆಯಷ್ಟೆ.

ಝೀನೋ ತೀರ್ಮಾನದ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ ಪರಿಣಾಮ ಅನರ್ಥಕಾರಿ; ಲೋಕದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅಧಿಕವೇಗದ ವಸ್ತುವೂ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಮುಂದೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ಯಾವ ಮಂದವೇಗದ ವಸ್ತುವನ್ನೂ ಬೆನ್ನು ಹಿಡಿಯುವುದಾಗಲೀ (ಆದ್ದರಿಂದ) ಹಿಂದೆ ಹಾಕುವುದಾಗಲೀ ಅಸಾಧ್ಯ; ಆದರೆ, ವಾಸ್ತವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ತದ್ವಿಪರೀತ. ಆದ್ದರಿಂದ ಗಣಿತದ ಈ ತರ್ಕಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ತಿಳಿಯದಂಥ ಒಂದು ಹೊಸ ಅಂಶ ಅಥವಾ ಅಸಾಂಗತ್ಯ ಹುದುಗಿಕೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದೇ ಸಾಧು ಕ್ರಮ ಮುಂದೆ ಬರೆದಿರುವ ಯಾದಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಿ ಕಾಣಿಸಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮೊಲದ ವೇಗ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 10 ಮೀಟರುಗಳೆಂದೂ ಆಮೆಯ ವೇಗ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 1 ಮೀಟರೆಂದೂ ಭಾವಿಸಿದೆ.

ಗಮಿಸಿದ
(ಸೆಕೆಂಡ್)
ಮೊಲ
ಗಮಿಸಿದ
ದೂರ(ಮೀ)
ಆಮೆ
ಮೊಲ – ಆಮೆ
ದೂರ(ಮೀ)
ಕಾಲ
ಅಂತರ (ಮೀ)
0.000 0.00 0.000 100.000
10.000 100.00 10.000 10.000
1.000 10.00 1.000 1.000
0.100 0.10 0.010 0.010
0.001 0.01 0.001 0.001

ಈ ಯಾದಿಯನ್ನು ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಲೇ ಇರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಓಟತೊಡಗಿದ 10+1+0.1+0.01+0.001+………. (ಈ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಇದೇ ನಿಯಮಾನುಸಾರ ಅನಂತವಾಗಿ ಬರೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗಬೇಕು) ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊಲ – ಆಮೆ ಅಂತರ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಬರೆದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಪದಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನೊಂದು ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಮಿತಿಯ ಅನುಸಾರ ಅದರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟೆಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಪದಗಳನ್ನು ಆಯ್ದು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೊ ಅಷ್ಟಷ್ಟು ಅಧಿಕ ಪರಿಷ್ಕ್ರತ ಉತ್ತರ ನಮಗೆ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಪದವಾದರೆ ಮೊತ್ತ 10.000
ಎರಡು ಪದಗಳಾದರೆ ಮೊತ್ತ 11.000
ಮೂರು ಪದಗಳಾದರೆ ಮೊತ್ತ 11.100
ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳಾದರೆ ಮೊತ್ತ 11.110
ಐದು ಪದಗಳಾದರೆ ಮೊತ್ತ 11.111 ಇತ್ಯಾದಿ

ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಮೊಲ – ಆಮೆ ಅಂತರ ಸೊನ್ನೆ ಆಗಬೇಕು. ಇದು 11 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಉತ್ತರ ಅಲ್ಲ. 12 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಆಗಲೂ ಉತ್ತರ ಅಲ್ಲ. ಮೊದಲನೆಯ ಸಲ ಮೊಲ ಆಮೆಗಿಂತ 1 ಮೀ ಹಿಂದೆ ಇದ್ದರೆ ಎರಡನೆಯ ಸಲ ಮೊಲ ಆಮೆಗಿಂತ 8 ಮೀ ಮುಂದೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಓಡತೊಡಗಿದ 11 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ತರುವಾಯ, ಆದರೆ 12 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಮೊದಲು, ಮೊಲ ಆಮೆಯ ಬೆನ್ನು ಹಿಡಿದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಹಜವಾಗಿ ತರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಂದರೆ ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಯ (10+1+0.1+0.01+….) ಮೊತ್ತ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಮನಸ್ಸು ಮಿಡಿಯುತ್ತದೆ.

ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಒಂದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗ ಬೇಡವೇ? ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಒಂದು ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗುವುದು ಹೇಗೆ? 1.2, 3, 4, 5 ಮೊದಲಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೂಡುತ್ತ ಮುಂದುವರಿದರೆ ಮೊತ್ತ ವಿಪರೀತವಾಗಿ ಏರುತ್ತ ಹೋಗುವುದು. ಆದರೆ 10+1+0.1+0.01+… ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊತ್ತ ಒಂದು ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯತ್ತ ಅಭಿಸರಿಸುವುದು. ಇದು ಹೇಗಾಯಿತು?

ಮೊದಲನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಕೂಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊತ್ತ ಏರುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯ. ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯೇ ಬೇರೆ. ಪ್ರತಿಸಲವೂ ಕೂಡುವ ಮೌಲ್ಯ ಕ್ರಮೇಣ ಇಳಿಯುತ್ತ ಹೋಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಥ ಕೂಡುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಹೀಗೆ ಝೀನೋ ಸಮಸ್ಯೆ ಗಣಿತವಿದರ ಲಕ್ಷ್ಯವನ್ನು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಕಡೆಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಿತು. ಅನಂತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮಿತ ಅಥವಾ ಸಾಂತವಾಗುವುದು (ಎಂದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುವುದು) ಸಮಂಜಸವೇ ಆಗಿದೆ. ಈ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿ ಪರಿಮಿತಿ (limit) ಎಂಬ ಹೊಸತೊಂದು ಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ರೂಢವಾಯಿತು. ಅದರ ಪ್ರಕಾರ 10+1+0.1+0.01+….. ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಮಿತಿ (ಎಂದರೆ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅನಂತ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ) 11 1/9 ಎಂದು ಗಣನೆ ಮಾಡಿ ಬರೆದರು. ಈಗ ಝೀನೋ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ ನೀಡಬಹುದು.

ಓಟತೊಡಗಿ 11 1/9 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಮುಗಿಯುವಾಗ ಆಮೆ ಓಡಿದ ದೂರ 11 1/9 ಮೀಟರುಗಳು; ಮೊಲ ಜಿಗಿದ ದೂರ 111 1/9 ಮೀಟರುಗಳು. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮೊಲ ಆಮೆಗಿಂತ 100 ಮೀಟರ್ ಹಿಂದೆ ಇದ್ದುದರಿಂದ ಈಗ ಮೊಲ ಆಮೆಗಳೆರಡೂ ಒತ್ತೊತ್ತಿಗೆ ಇವೆ. ಮುಂದಿನ ಗಳಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಮೊಲ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಂದೆ ಹಾಕಿ ಓಡಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಲೋಕದ ಕ್ಷಿಪ್ರವೇಗಿಗಳು ಸಮಾಧಾನದ ಉಸಿರು ಬಿಡಬಹುದು – ಅವರು ಮಂದವೇಗಿಗಳನ್ನು ಹಿಂದೆ ಹಾಕಬಲ್ಲರು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಗಣಿತದ ಸಮರ್ಥನೆಯೂ ದೊರೆತಿರುವುದರಿಂದ!

ಇಬ್ಬರು ಬುದ್ಧಿವಂತರ ಸಮಸ್ಯೆ

ಪೃಥ್ವಿಯಾ “ಪ್ರಥಮ ಪ್ರಭಾತದಲಿ ಇತಿಹಾಸ ದೃಷ್ಟಿಗಸ್ಪಷ್ಟ ಪ್ರಾಚೀನದಲಿ” (ಕುವೆಂಪು) ಇಬ್ಬರು ಬುದ್ಧಿವಂತರ ನಡುವೆ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಧೆ ಏರ್ಪಟ್ಟಿತು: ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು?

ಮೊದಲನೆಯವ ದೀರ್ಘಕಾಲ ಚಿಂತಿಸಿ “ಒಂದು” ಎಂದ. ಈಗ ಎರಡನೆಯವನ ಸರದಿ. ಅವನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಹೊತ್ತು ಯೋಚಿಸಿ “ಎರಡು” ಎಂದಾಗ ಮೊದಲನೆಯವನ ಕಣ್ಣು ಕತ್ತಲೆ ಹೋಯಿತು. ತನಗೆ ಸೋಲು ಖಚಿತವೆಂಬ ತಿಳಿವಿನಿಂದ ಆದರೂ ಪ್ರಯತ್ನ ಬಿಡಲಿಲ್ಲ. ಹಲವಾರು ದಿವಸಗಳ ಚಿಂತನೆಯ ಫಲವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ದೊರೆಯಿತು. “ಮೂರು” ಎಂಬ ಮಹಾಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವನು ಗರ್ಜಿಸಿದಾಗ ಎರಡನೆಯವ ಧೃತಿಗುಂದಿ ಬವಳಿಹೋದ.

“ನಾನು ಸೋತೆ” ಎಂದು ಎದುರಾಳಿಯ ಗೆಲುವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡ.

ಇಷ್ಟು ಸುಲಭದ ಪ್ರಶ್ನೆ ಅವರಿಗೆ ಅಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಾದದ್ದೇಕೆ? (ನಿಜ ಅನುಭವದ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಅದನ್ನು ಅಳೆಯಬಾರದು. ಭಾಷೆ ಬೆಳೆದು ಭಾವನೆಯ ವಾಹನವಾಗುತ್ತಿದ್ದ ದಿನಗಳವು. ಮೊದಲನೆಯವ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದದ್ದು ತಾನು, ತನ್ನ ಗುಡಿಸಲು, ಸೂರ್ಯ, ಅಲ್ಲೇ ಹರಿಯುತ್ತಿದ್ದ ಹೊಳೆ ಮುಂತಾದವನ್ನು ಇವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೇನು? ಉತ್ತರ – ಒಂದುತನ. ಎರಡನೆಯವನ ಸಮಸ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದದ್ದು ಎರಡು ಕಾರಣಗಳಿಂದ. ಒಂದೊಂದು ಜೊತೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವಾದ ಎರಡುತನದ ಅಸವನ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಗ್ರಹಿಸಬೇಕಾದದ್ದು. ಮುಂದೆ ಮೂರುತನವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಿ ಅದು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತಲೂ ದೊಡ್ಡದೆಂದು ತಿಳಿದಾಗ ಆ ಬುದ್ಧಿವಂತರು ತಮ್ಮ ಕಲ್ಪನೆಯ ಹಾಗೂ ತರ್ಕದ ಪರಿಧಿಯನ್ನೇ ತಲಪಿಬಿಟ್ಟಿದ್ದರು!

ಹೀಗೆ ಬೆಳೆದಂಥವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ದೇವರು ಮಾನವನನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದನೆಂದೂ ಮಾನವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ ಸೃಷ್ಟೀಶವನ್ನೇ ಅಳೆದನೆಂದೂ ಹೇಳಿಕೆಯಿದೆ. ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕತೆಯ ಅನುಸಾರ ವಿಕಸಿಸಿದಂಥವು. ಈಗ ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚ, ಎಂದರೆ ನಮ್ಮೆದುರು ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವೈವಿಧ್ಯ, ಹೇಗಿದೆಯೆಂದು ನೋಡಿ:

– 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, …….. ಇವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು

– 3/4, – 2/15, 3/7, 4/9…. ಇವು ಪರಿಮೇಯಗಳು (rationals)

– , –   ……. ಇವು ಅಪರಿಮೇಯಗಳು (irrationals)

ದಶಮಾಂಶಗಳಾದರೂ ಪರಿಮೇಯ ಹಾಗೂ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳು ಮಾತ್ರ ಪರಿಮೇಯ ದಶಮಾಂಶ ರೂಪಗಳು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ.

1/2 = 0.5, 1/7 = 0.142857 142857………………….

ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಮಾಂಶ ರೂಪಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಾಗುತ್ತವೆ. (2 ಅಥವಾ 3ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಆಸವಿಸುತ್ತ ಸಾಗಿ ನೋಡಿ).

ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಹೆಸರು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (realnumbers).

ಜ್ಞಾನ ಮುಂದುವರಿದಂತೆ ಬೀಜಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂಬ (transcendental numbers) ಹೊಸ ಬಗೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಾಸ್ತವ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಅಥವಾ ಅನುಭವಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಲಭಿಸಿದುವು. ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸದ ಉದ್ದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಆ ವೃತ್ತದ ಗಾತ್ರ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದು ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದು ಆಗಿದ್ದರೂ, ದೊರೆಯುವ ಪರಿಮಾಣ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದರ ಬೆಲೆ 3 ಮತ್ತು 4ರ ನಡುವೆ ಇದೆ. ಆದರೆ ಇದೊಂದು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಖಂಡಿತ ಅಲ್ಲ, ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅಲ್ಲ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಪಂಚಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು p ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ ಇದನ್ನು ಬೀಜಾತೀತ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದರ ಮೊತ್ತದ ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿ. pಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ ಗಣಕದ ನೆರವಿನಿಂದ pಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಾವಿರಾರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೂ ಶೋಧಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಯಾವುದೇ ವಿಧದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಲೀ ಪ್ರರೂಪವಾಗಲೀ ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ. ಅನಂತ ವೈವಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಾಂತಾತೀತ ಆದರೆ ಅನಂತವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಪಂಚದಿಂದ ವಿಕಸಿಸಿದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ (ಮಿಶ್ರ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (complex numbers) ಬೇರೆ ಒಂದು ಪ್ರಪಂಚವೂ ಇದೆ. ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ದೊರೆಯುವುದು?

3 x 3 = 9, – 3 x – 3 = 9

9ರ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು 3 ಮತ್ತು – 3. ಹಾಗಾದರೆ – 9ಕ್ಕೆ ವರ್ಗಮೂಲಗಳಿವೆಯೇ? ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ತಿಳಿಯದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ. ಆದರೆ ಕ್ರಿಯಾಶೀಲ ಗಣಿತವಿದನ ಪುಟಿತ ಮನಸ್ಸು ಇಂಥ ಒಂದೊಂದು ಅಡ್ಡಗೋಡೆಯನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಹೊಸ ಸವಾಲೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಹೊಸ ದಾರಿ ಅರಸುತ್ತದೆ. ಅಂಥ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ತಿಳಿಯದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ ಎನ್ನುವ ಬದಲು ಅದನ್ನು ಹೊಸದೊಂದು ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ ಗಣಿತ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾನೆ:

i x – = – 1 ಅಥವಾ i = – 1

ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ

– 9 = 3i x 3i = – 9 – 3i x 3i

ಈ ಪ್ರತೀಕದ ನಿರೂಪಣೆಯಿಂದ ದೊರೆಯುವ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೆಸರು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4 + 3i, = – 2 –i, 3i 5 – i ಮುಂತಾದವು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಡನೆ ಎಷ್ಟು ಸೊಗಸಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎನ್ನುವುದಕ್ಕೆ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ :

(4 + 3i) + (5 – 3 i) = 9, (2 – i) x (2+ i) = 4 + 1 = 5

ಇಲ್ಲಿ ಎಡಗಡೆಯ ಒಂದೊಂದು ಆವರಣವೂ ಒಂದೊಂದು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ; ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಸಮಗ್ರ ಮೌಲ್ಯ ಬಲಗಡೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಹೀಗೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಪಂಚಕ್ಕೂ ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚಕ್ಕೂ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಇಷ್ಟು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ. ವಿಜ್ಞಾನ ಸಾಧನಗಳ ತಯಾರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಗತಿ ಶೂನ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ iಯನ್ನು ಪ್ರಥಮವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿದ ದಿನದಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪದಕ್ಕೆ ಅದರ ವಾಚ್ಯಾರ್ಥವೇ ಇದ್ದರಿಬಹುದಾದರೂ ಇಂದು ಇದನ್ನೊಂದು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಪದವೆಂದು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿಯಬೇಕು. ನೈಜ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಪಂಚಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ನೇಹಸೇತು i ಎಂಬ ಅದ್ಭುತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

Exp (2 p i) = 1 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣ p ಹಾಗೂ ಎಂಬ ಬೀಜಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ 1ರ ಜೊತೆ ಬೆಸೆಯುತ್ತದೆ. (ಎಂದರೆ ಎಂದರ್ಥ.)ಯ ಬೆಲೆ 2 ಮತ್ತು 3ರ ನಡುವೆ ಇದೆ. ಇದೊಂದು ಬೀಜಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಲಾಗ

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ತಲೆ ಕೆರೆದುಕೊಳ್ಳದಿರುವ (ಫ್ರೌಡಶಾಲೆಯ) ಗಣಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಯಾರು ಇರಲಾರರು. ನಿಮಗೆ ಆ ಭಾಗ್ಯ ಒದಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಹೆದರಿಕೆ ಇಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಈಗೇನಾದರೂ ಅದು ಮರೆತು ಹೋಗಿದ್ದರೆ ಆ ಗಹನ ಗಂಭೀರ ಜಟಿಲ ಭಾವನೆ ಹೀಗೆ : “ಯಾವುದೇ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದ ಎರಡು ಭುಜಗಳು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ವಿಕರ್ಣದ (hypotenuse) ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮ.”

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸ ಕಾಲ, ಪ್ರಾಯಶಃ ಕ್ರಿ.ಪೂ. 569 – 500. ಈತ ಝೀನೋನಿಗಿಂತ ಹಿಂದಿನವ. ಪೂಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ, ಕಳೆದು, ಗುಣಿಸಿ ದೊರೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸುಂದರವೂ ಆಗಿದೆ. ಇನ್ನು ವಾಸ್ತವ ಜಗತ್ತಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಾದರೋ ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೇ: ಮನುಷ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ. ಒಬ್ಬೊಬ್ಬನ ಅವಯವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಗಿಡಮರಗಳ, ಕೆರೆ ಕುಂಟೆಗಳ, ಸೂರ್ಯ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದೊಂದು ಅದ್ಭುತ ಪೂಣಾಂಕಮಯ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣವೇ ಇಲ್ಲದ ವಿಶ್ವ, ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಕವಿಯಾದ “ಅಖಿಲ ವಿಶ್ವವೂ ಪೂಣಾಂಕಮಯ. ದೈವದತ್ತ ವಿಶ್ವದ ಇಟ್ಟಗೆಗಳು 1, 2, 3…….. ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಶ್ವದ ಸಕಲ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಇವೇ ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ದೇವರೆಂದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸ್ವರೂಪ!” ಎಂದು ಉದ್ಗಾರವೆತ್ತಿದ.

ಇಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಘೀಂಕರಿಸಿದನೇನೊ ಸರಿ. ಉತ್ಸಾಹದ ಅಮಲು ಇಳಿದು ತನ್ನ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮಯವನ್ನೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ಬುದ್ಧಿ ಗೋಚರವಾದ ವಿವರ ಬೇರೆಯೇ. ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದ ಒಂದೊಂದು ಭುಜದ ದೀರ್ಘತೆಯೂ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ವಿಕರ್ಣದ ದೀರ್ಘತೆಯ ವರ್ಗ 12 + 12 = 2, ವಿಕರ್ಣದ ಉದ್ದ 2 ಆಗುತ್ತದೆ. 2 ಸಲ್ಲ! ಇದು 1 ಮತ್ತು 2ರ ನಡುವೆ ಇರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿಲ್ಲದ ವಿಚಿತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇಂಥ ತ್ರಿಭುಜ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಎದುರು ಇದೆ. ಇದರ ವಿಕರ್ಣ ಅವನನ್ನು ತಿವಿಯುತ್ತಿದೆ. ತೀರ್ಮಾನವೇನು? ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಇಂಥವು ಅಸಂಖ್ಯಾತವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ ಮುಂದಿನ ಸಹಜ ಮತ್ತು ಸುಲಭ ಹೆಜ್ಜೆ. ಈ ತಿಳಿವಳಿಕೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನಿಗೆ ತೀವ್ರ ಆಘಾತವನ್ನೇನೋ ಪ್ರಹರಿಸಿತು. ನಿಜ ಆದರೆ ಅದರಿಂದ ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಷ್ಟು ಬುದ್ಧಿ ಶ್ರೀಮಂತಿಕೆಯೂ ವಿವೇಚನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವೂ ಅವನಿಗಿದ್ದುವು. ಆ ತನಕ ಅವನ ಭಗವಂತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರಪಂಚಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತಗೊಂಡಿದ್ದ. ಈ ನವಭಗವಂತ ಸರ್ವಾಂತರ್ಯಾಮಿಯಾದ! ಹಾಗಾದರೆ ಯಾವುವೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ? 1 ಮತ್ತು 2 ಎಂಬ ಒಂದು ಜೊತೆ ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

= 1.5 ಇದು 1 ಮತ್ತು 2ರ ನಡುವೆ ಇದೆ.

= 1.25. ಇದು 1 ಮತ್ತು 1.5ರ ನಡುವೆ ಇದೆ.

= 1.125. ಇದು 1 ಮತ್ತು 1.25ರ ನಡುವೆ ಇದೆ.

ಈ ಸೋಪಾನಗಳನ್ನು ಅವಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಿಕೊಂಡು ಹೋಗಬಹುದು. ಪ್ರತಿಸಲವೂ ಉತ್ತರವಾಗಿ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಿಂದಿನ ಸಲದ್ದಕ್ಕಿಂತ 1ಕ್ಕೆ ಅಧಿಕ ಸಮೀಪ ತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದೆಂದೂ 1 ಆಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಸಲವೂ 2ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ್ದೇವಷ್ಟೆ. ಈ ಭಾಗಾಹಾರವನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (3 ಅಥವಾ 73 ಅಥವಾ 4761 ಇತ್ಯಾದಿ) ಬೇಕಾದಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇಂಥ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗಾಹಾರದಲ್ಲಿಯೂ ಲಭಿಸುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಒಂದು ನೂತನ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಂದ ತಿಳಿಯುವ ಅಂಶವಿಷ್ಟು; ಯಾವುವೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆ ನಡುವೆ, ಅವು ಎಷ್ಟೇ ಪರಸ್ಪರ ಸಮೀಪವಾಗಿದ್ದರೂ (ಎಂದರೆ, ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅದೆಷ್ಟೇ ಅಲ್ಪತಮವಾಗಿದ್ದರೂ) ಅನಂತ. ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ.

ಹೀಗೆ ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚ ಅತ್ಯಂತ ನಿಬಿಡತೆಯಲ್ಲಿಯೂ ವಿರಳತೆ ಇರುವ ಒಂದು ವಿಸ್ಮಯಕರ ವಿಶ್ವ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲೂ ಅನಂತ. ಆದರೂ ಸಾಂತ!

ರಾಮಾನುಜನ್ ಒಡ್ಡಿದ ಸವಾಲು

ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ (1887 – 1920) ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಆಗಿದ್ದಾಗ ನಡೆದ ಒಂದು ಘಟನೆ ವರದಿ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ದಿನ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಉಪಾಧ್ಯಾಯರು, “3 ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು 3 ಜನರಿಗೆ ಹಂಚಿದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನಿಗೂ 1 ಹಣ್ಣು ಸಿಕ್ಕುವುದು……. ಹೀಗೆಯೇ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರಿಂದಲೇ ಭಾಗಿಸಿದರೆ 1 ಬರುತ್ತದೆ” ಎನ್ನಲು ಕೂಡಲೇ ಅಣುಗ ರಾಮಾನುಜನ್ ಎದ್ದುನಿಂತು, “ಸ್ವಾಮೀ! 0ಯನ್ನು 0ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ 1 ಬರುವುದೇ? ಇಲ್ಲದಿರುವ ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲದಿರುವ ಜನರಿಗೆ ಹಂಚಿದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನಿಗೂ 1 ಹಣ್ಣು ಸಿಗುವುದೇ?” ಎಂದು ಕೇಳಿದನಂತೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಏನು ಜವಾಬು ದೊರೆಯಿತೆಂದು ವರದಿ ಆಗಿಲ್ಲ.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

= 10.  = 100.  = 1000

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಭಾಜ್ಯಗಳೂ (ಅಂಶಗಳು) 1. ಭಾಜಕಗಳು (ಛೇದಗಳು) ಕ್ರಮೇಣ ಕಿರಿದಾಗುತ್ತ ಹೋದಂತೆ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು (ಬಲಬದಿಯವು) ಹಿರಿದಾಗುತ್ತ ಹೋಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಜ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದು ಭಾಜಕಗಳು ಕಿರಿದಾದಂತೆ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು ಹಿರಿದಾಗುತ್ತವೆಂದಾಯಿತು. ಭಾಜಕಗಳು ಎಷ್ಟೆಷ್ಟು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಬಲ್ಲವೋ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು ಅಷ್ಟಷ್ಟು ಅತಿಬೃಹತ್ತಾಗಬಲ್ಲವು. ಇಳಿಯುತ್ತಿರುವ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೊನ್ನೆ ಸಾಕ್ಷಾತ್ ಸೊನ್ನೆಯೇ ಭಾಜಕವಾದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಅನಂತವೇ ಆಗಬೇಕೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಸಹಜವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಈ ಅನಂತವನ್ನು ನಾವು ಭಾಗಾಹಾರದ ಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಕಾಣುವಂತಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಅನಂತವೆಂಬುದೊಂದು ಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಇದೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ, ಮಹತ್ತಿನ ಪ್ರತೀಕ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಯಿತು.

ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಡನೆ ನಡೆಸಿದಂಥ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಅನಂತದೊಂದಿಗೆ ನಡೆಸಿದರೆ ಅಸಮಂಜಸ ಉತ್ತರಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ.

100ಕ್ಕೆ ಅನಂತವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಉತ್ತರ ಅನಂತ, 1000ಕ್ಕೆ ಅನಂತವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಉತ್ತರ ಅನಂತ. 10ನ್ನು ಅನಂತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, 1000ವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಎರಡು ಸಲವೂ ಅನಂತವೇ ಉತ್ತರ. ಅನಂತದಿಂದ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ಕಳೆದು ನೋಡಿ. ಉತ್ತರ ಪುನಃ ಅನಂತವೇ. ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಲಭಿಸುವ ಅನುಭವ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದದ್ದು.

ಅಂದಮೇಲೆ ಅನಂತದೊಡನೆ ವ್ಯವಹಿಸುವಾಗ ಹೊಸ ನಿಯಮಗಳೇ ಬೇಕು; ಅನಂತವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಅಭ್ಯಸಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ಆಕಾಂಕ್ಷೆ ವಿಖ್ಯಾತ ಗಣಿತವಿದರ ಪರಮೋದ್ದೇಶವಾಯಿತು.

ವಾಸ್ತವತೆಗೂ ಕಲ್ಪನೆಗೂ ಇರುವ ಅದ್ಭುತ ಬಾಂಧವ್ಯ

“ಯಾವುದಾದರೂ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಅನಂತವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಭಾವನೆ ಮೊತ್ತಮೊದಲು ಭಾಸ್ಕರನಲ್ಲಿ (ಕ್ರಿ.ಶ. 1114 – ಸು.35) ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.” (‘ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಚರಿತ್ರೆ’ಯಲ್ಲಿ ಸಿ.ಎನ್.ಶ್ರೀನಿವಾಸಯ್ಯಂಗಾರ್).

ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟ್‌(1862 – 1943) ಎಂಬ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸ ಹೀಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. “ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಮಾನವನ ರಾಗ ಭಾವಗಳನ್ನು ಅನಂತದಷ್ಟು ಕಲಕಿದ ಪ್ರಶ್ನೆ ಬೇರೊಂದಿಲ್ಲ. ಬೇರಾವ ಭಾವನೆಯೂ ಇಷ್ಟು ಫಲಪ್ರದವಾಗಿ ಅವನನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದರೂ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣ ಬೇಡುವ ಭಾವನೆ ಬೇರಾವುದೇ ಇಲ್ಲ………….ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಅನಂತವನ್ನು ಅರಿಯಲು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕೆ ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಒಂದು ವೈಚಾರಿಕ ಭಾವನೆಗೆ ಅದು ಸಮರ್ಪಕ ತಹಳದಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ – ವಾಸ್ತವೆತೆಗೂ ಕಲ್ಪನೆಗೂ ಇರುವ ಅದ್ಭುತ ಬಾಂಧವ್ಯ ಅನಂತ……….. ಅನಂತದ ಸ್ವರಮೇಳವೇ (symphony) ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತ.” ಗಣಿತದ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಯ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ತಲೆದೋರುವ ಕೊರತೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೂ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೂ ಪರಿಪೂರ್ಣತೆ ನೀಡಿ ಗಣಿತಸೌಧದ ಸೌಂದರ್ಯ ವರ್ಧಿಸಲು ಅನಂತ ಮತ್ತು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಭಾವನೆಗಳ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಇದೆ.

ವಿಖ್ಯಾತ ಗಣಿತವಿದ ಒಂದನೆಯ ಜೇಕ್ಸ್ ಬರ್ನೂಲಿ (1654 – 1705) ಎಂಬ ವರ ಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅನಂತರಗಳ ‘ಅಣೋರಣೀಯಾನ್ ಮಹತೋಮಹಿಯಾನ್’ ಸಂಬಂಧ ಹೀಗಿದೆ;

ಸಾಂತ ಅನಂತವನಾವರಿಸಿದಂತೆ
ಪರಿಮಿತಿಗಳಪರಿಮಿತದಲಿರ್ಪಂತೆ
ಬೃಹತ್ತಿನ ಜೀವಂ ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮದೊಳಗೆ
ಹುದುಗಿದೆ ! ಅತಿ ಸಂಕುಚಿತ ಪರಿಮಿತಿ
ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಮಿತಿಗಳಿಲ್ಲ ಭಾಪುರೆ !
ಅನಂತದಲಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮವ ಕಾಣುವುದೇನಾನಂದ
ಕಿರಿದರಲಿ ಪಿರಿದನರಿವುದೆ ದರ್ಶನ, ಭಗವಂತ!

ಅನಂತವನ್ನು ಆದ್ದರಿಂದ (ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚವನ್ನು) ಕುರಿತು ಯಾವ ಪ್ರಬಂಧವೂ ಜಾರ್ಜ್‌ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ (1845 – 1918) ವಿಶಿಷ್ಟ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾವಿಸದೆ ಪೂರ್ಣವಾಗದು. ಗಣಿತದ ಬೆಳೆವಣಿಗೆ ಪರಮೋಚ್ಛ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ತಲಪಿ ಅದರಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧಿಸಬಲ್ಲ ಅಂಶಗಳು ಇಲ್ಲ ಎಂಬಂಥ ವಿಕಾಸರಹಿತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮುಟ್ಟಿದಾಗ, ಬೆಳವಣಿಗೆ ಇಲ್ಲದಂಥ ಯಾವುದೇ ಶಾಸ್ತ್ರವೂ ಪಳೆಯುಳಿಕೆ ಆಗಿ ಮಾತ್ರ ಉಳಿಯಬಲ್ಲುದಾದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತ ಪಳೆಯುಳಿಕೆತನವನ್ನು ತಲಪಿತೇ ಬಂಜೆಯಾಯಿತೇ ಎಂದು ಗಣಿತವಿದರು ಚಿಂತಿಸುತ್ತಿದ್ದಾಗ, ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ರೀಮಾನನ ಅನುಕಲನ, ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಬಲವಿಜ್ಞಾನ ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ಮಹಾನ್ವೇಷಣಕಾರರ ಹೆಸರುಗಳಿಂದಲೇ ವಿಶ್ಲೇಷಿತವಾಗಿದ್ದ ಶಾಸ್ತ್ರವಿಭಾಗಗಳು ಇಲ್ಲವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತ, ಟೋಪಾಲಜಿ ಮಾತೃಕೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮುಂತಾದ ಶಾಸ್ತ್ರ ನಾಮಗಳೇ ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದಾಗ, ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತ (set theory) ಎಂಬ ನವಸ್ವರ್ಗವನ್ನು ಅನಾವರಣ ಮಾಡಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾತ ಜಾರ್ಜ್‌ಕ್ಯಾಂಟರ್. ಇದಕ್ಕೆ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತ. ಅಥವಾ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದೇ ಹೆಸರು. ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟರ ಮಾತಿನಲ್ಲಿ. “ಯಾವುದೇ ಗಣಿತ ಮನಸ್ಸಿನ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಶಂಸನೀಯ ಫಲ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ನನಗೆನ್ನಿಸಿದೆ. ಇಷ್ಟು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಮಾನವನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಬೌದ್ಧಿಕ ವಿಜಯಗಳಲ್ಲಿ ಇದೂ ಒಂದು…… ಕ್ಯಾಂಟರ್ ನಮಗಾಗಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಿರುವ ಈ ಸ್ವರ್ಗದಿಂದ ಯಾರೂ ನಮ್ಮನ್ನು ಉತ್ಪಾಟಿಸಲಾರರು.” ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆರಂಭದ ದಿವಸಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಸಾಂಗತ್ಯಗಳನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ವಿದ್ವಾಂಸರು ತೋರಿಸಿದರು. ಇವು ಅವುಗಳಿಂದ ಈ ನೂತನ ಸುಂದರ ಸೌಧ ಕುಸಿದು ಹೋಗಬಹುದೋ ಎನ್ನುವಷ್ಟು ತೀವ್ರತರದವು. ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟ್‌ನುಡಿದ ಮಾತುಗಳಿವು. ಇಂದು (20ನೆಯ ಶತಮಾನ) ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥವಿಸಿ ಆನಂದಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಹಿಡಿತಕ್ಕೆ ಸಿಕ್ಕದ ಅನಂತ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲವಾಗಿ ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೋಪಾದಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಗೆ ಲಭ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅನಂತದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಸಾರ್ಥಕವಾಗಿ ಮಾಡಿ ಸಂಗತ ಫಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಕ್ಯಾಂಟರನೇನೋ ನವ ಸ್ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ. ಆದರೆ ಅವನ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಜೀವನ ಮಾತ್ರ ದಾರುಣ ನರಕವಾಗಿತ್ತು. ಇತರರ ಈರ್ಷ್ಯಾಸೂಯೆಗಳಿಂದ ಅವನ ಕೋಮಲ ಮನಸ್ಸು ನೊಂದಿತು. ಮನ್ನಣೆ ಮರ್ಯಾದೆ (ತನ್ನ ಗಣಿತ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ) ದೊರೆತು ತಾನು ಗಣ್ಯನಾಗಿ ಬಾಳಬಹುದೇ ಎಂದು (ಎಲ್ಲ ಮನುಷ್ಯರಂತೆಯೇ) ಹಂಬಲಿಸುತ್ತಿದ್ದಾಗ ಅವನಿಗೆ ದೊರೆತದ್ದು ಟೀಕೆ ತಿರಸ್ಕಾರ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮನಸ್ಸಿನ ಸಮತೋಲ ತಪ್ಪಿತು. ಮಾನಸಿಕಾಸ್ಪತ್ರೆ, ಸಮತೋಲ ಸ್ಥಿತಿ ಇವುಗಳ ನಡುವೆ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಜೀವನ ಆಂದೋಲಿಸುತ್ತಿತ್ತು. ಸಮತೋಲ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಅವನು ಗಣಿತ ಸ್ವರ್ಗವನ್ನೇ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ. ಆದರೆ ಅದರೊಳಗೆ ವಾಸಿಸುವ ಭಾಗ್ಯ ಅವನದಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಕೊನೆಯುಸಿರೆಳೆದದ್ದು ಮಾನಸಿಕಾಸ್ಪತ್ರೆಯಲ್ಲಿ. ಬುದ್ಧಿಭ್ರಮೆಯಿಂದ ಕೊರಗಿ ಕಂಗಾಲಾಗಿ.

ಜೀನೋನಿಂದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ವರೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೋದ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ವಿಕಸಿಸಿರುವ ಪುಷ್ಪಗಳು ಅಸಂಖ್ಯಾತ. ಒಂದೊಂದು ಅಡ್ಡಗೋಡೆ, ಒಂದೊಂದು ತಿರುವು ಅನಾವರಣ ಮಾಡಿದ್ದು ಒಂದೊಂದು ನೂತನ ವಿಸ್ಮಯವನ್ನು ಇವುಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲ ತಿಲಕಪ್ರಾಯವಾಗಿ ಬಹುಕಾಲ ಉಳಿಯಬಲ್ಲದ್ದು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಸ್ವರ್ಗ ನಿಜ, ಯಾರೂ ಈ ಸ್ವರ್ಗದಿಂದ ನಮ್ಮನ್ನು ಉತ್ಪಾಟಿಸಲಾರರು.

ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಹರಿಸುತ್ತಿರುವವರು ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನ ಮಗ್ನರಾಗಿರುವವರನ್ನು ಲಘುವಾಗಿ ಕಾಣುವುದು, ವ್ಯಂಗ್ಯವಾಗಿ ಟೀಕಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಬಂಜರು ನೆಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಜೀವ ಬೀಜ ಬಿತ್ತಿ ಇಲ್ಲದ ಬೆಳೆ ತೆಗೆಯಲು ಹವಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಕನಸಿಗರೆಂದು ಗೇಲಿ ಮಾಡುವುದು ವಿರಳವಲ್ಲ. ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ರಾಣಿಯಾಗಿರುವ ಗಣಿತದ ತಾಯಿ ಅಂಕ ಗಣಿತ (ಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಪಂಚ) ಇಂದಿಗೂ ನವನವೋನ್ಮೇಷಶಾಲಿಯಾಗಿದೆ. ನವ ವಿಸ್ಮಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುತ್ತಿದೆ, ಹೊಸ ಸವಾಲುಗಳನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತಿದೆ ಎಂಬ ಸಂಗತಿ ನಿಜಸ್ಥಿತಿ – ಬಲ್ಲವರೇ ಬಲ್ಲರು ಬೆಲ್ಲದ ಸವಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಛವಿ!

(1987)

ಬ್ರಹ್ಮ ಸತ್ತೆಯನಾ ಪರಬ್ರಹ್ಮ ಸತ್ತಿಯಂ
ಮಾತ್ರಮೆಯೆ ದರ್ಶಿಸುತಿದಂ ಮಿಥ್ಯೆಯೆಂಬುದೇಂ
ಪೂರ್ಣ ಸತ್ಯಮೇ ಯೋಗ ವಿಜ್ಞಾನ ಮೊಪುದು ಕಣ!
ಪೂರ್ಣಮದು; ಪೂರ್ಣಮಿದು; ಪೂರ್ಣದಿಂ ಬಂದುದೀ
ಪೂರ್ಣಮಾ ಪೂರ್ಣದಿಂ ಪೂರ್ಣಮಂ ಕಳೆದೊಡಂ
ಪೂರ್ಣಿಮೆಯೆ ತಾನುಳಿವುದಾ ಪ್ರಜ್ಞೆಗದುವಿದುಂ
ಸರ್ವಮುಂ ಸತ್ಯದಾವಿಷ್ಕಾರ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ್.
ಶ್ರಿ ರಾಮಾಯಣದರ್ಶನಂ.