ಇಲ್ಲೊಂದು ರಸಲೋಕ

ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ (Mathematical Logic) ಎಂಬ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರ, ನಿಯಮಾದಿಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯಗಳ ರೂಢಿಯ ಪ್ರಯೋಗದ ಭಾವಾರ್ಥಗಳಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಭಾವಿತರಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಒಳಗೆ ಯಾವ ಬಗೆಯ ರಾಗವಿಕಾರಗಳಿಗೂ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಒಲವು ತಿರಸ್ಕಾರಗಳಿಗೂ ಒಳಗಾಗದೇ ಅವನ್ನು ಯೋಗ್ಯಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರತೀಕಗಳ (symbols) ಬಳಕೆ. ಹೀಗೆ ರೂಪಿತವಾದ ಪ್ರತೀಕಗಳು ಒಂದು ನೂತನ ರಸಲೋಕವನ್ನೇ ಸೃಜಿಸುತ್ತವೆ: ಬಾಗಿಲೊಳು ಕೈ ಮುಗಿದು ಒಳಗೆ ಹೋಗಿ ನೋಡಬೇಕಾದ ಬೌದ್ಧಿಕ ಸೌಂದರ್ಯವಿದು. ಮೊದಲು ಒಂದು ಬೌದ್ಧಿಕ ಕ್ರೀಡೆ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಇದು ಹುಟ್ಟಿತು. ಆದರೆ 20ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಕಯಂತ್ರದ ಭಾಷೆಯಾಗಿ, ವ್ಯಾಕರಣವಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಾಫಲ್ಯ ಪಡೆದಿದೆ.

ನಿಮ್ಮ ನಂಬಿಕೆಗೆ ಸವಾಲು

“ಶ್ರೀರಾಮಚಂದ್ರ ಪಿತೃವಾಕ್ಯ ಪರಿಪಾಲನೆ ಮಾಡಿದ.”

“ಗೌತಮಬುದ್ಧ ಅಹಿಂಸೆಯೇ ಪರಮಧರ್ಮವೆಂದು ಬೋಧಿಸಿದ.”

“ನವದೆಹಲಿ ಭರತವರ್ಷದ ರಾಜಧಾನಿ.”

“3 ಮತ್ತು 4ರ ಮೊತ್ತ 7.”

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ವ್ಯವಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಮಾತುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ; ಮತ್ತು ಇವುಗಳ ಹಿಂದೆ ಅಡಕವಾಗಿರುವ ಭಾವಗಳನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಯಾರಾದರೂ ವಿರೋಧಭಾವ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ “ಯುದ್ಧ” ಮಾಡಲೂ ಸಿದ್ಧರಾಗುತ್ತೇವೆ!

“ಗಂಗಾನದಿ ಪಶ್ಚಿಮಘಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟುವುದು.”

“ಲಂಡನ್ ನಗರ ಪಾಕಿಸ್ತಾನದಲ್ಲಿದೆ.”

“ಬಸ್ಸುಗಳು ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತವೆ.”

“4 ಮತ್ತು 3ರ ಗುಣಲಬ್ಧ 15.”

ಇಂಥ ಮಾತುಗಳನ್ನು ಆಡಿದವನು ಹುಚ್ಚರ ಆಸ್ಪತ್ರೆಯಿಂದ ಅವಧಿ ಮುಗಿಯುವ ಮೊದಲೇ ಓಡಿಬಂದವನಾಗಿರಬಹುದೇ ಎಂದು ಶಂಕಿಸುತ್ತೇವೆ. “ಬರೀ ಸುಳ್ಳು, ಹಸಿ ಹಸಿ ಸುಳ್ಳು” ಎಂದು ಇವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ಷಣವೂ ಯೋಚಿಸದೇ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲಿನ ನಾಲ್ಕು ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ನಮಗಿರುವ ಅಧಿಕಾರ ಏನು? ಅದೇ ರೀತಿ, ಕೊನೆಯ ನಾಲ್ಕು ಮಾತುಗಳನ್ನು ಸುಳ್ಳೆಂದು ಸಾಧಿಸಲು ನಾವು ಬಳಸುವ ಮಾನದಂಡ ಯಾವುದು?

ನಾವು ವಾಸಾಗಿರುವ ಭೂಭಾಗವನ್ನು “ತಾಭರ”ವೆಂದು ಕರೆದು. ಇದರ ಕೇಂದ್ರ ಸರಕಾರವಿರುವ ಸ್ಥಳವನ್ನು “ಹನವೆಲದಿ” ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿದರೆ, “ಹನವೆಲದಿ ತಾಭರದ ರಾಜಧಾನಿ” ವಾಕ್ಯ ನಿಜವಾಗುವುದು: ಮತ್ತು ಇದೇ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ “ನವದೆಹಲಿ ಭಾರತದ ರಾಜಧಾನಿ” ವಾಕ್ಯ ಸುಳ್ಳಾಗುವುದು!

ನಮ್ಮ ನಿತ್ಯಜೀವನದಲ್ಲಿ ಉಸಿರಾಡಿದಷ್ಟೇ ಸರಳವಾಗಿಯೂ (ಯೋಚಿಸದೆಯೂ) ಬಳಸುವ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ಎಂಬ ಹತ್ತು ಅಂಕೆಗಳೂ ಇವುಗಳ ವಿವಿಧ ಜೋಡಣೆಗಳಿಂದ ದೊರೆಯುವ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಇವೆಯಷ್ಟೆ. ಇವನ್ನು ದಾಶಮಿಕ ಪದ್ಧತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾವೂಹ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಇದು ಭಾರತೀಯರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಬೌದ್ಧಿಕ ಕೊಡುಗೆ ಎಂದು (ತಿಳಿದೋ ತಿಳಿಯದೆಯೋ) ಹೆಮ್ಮೆ ಪಡುವುದೂ ಇದೆ. ಹತ್ತು ಅಂಕೆಗಳೇ ಏಕಿರಬೇಕು? ಆರೋ ಒಂಬತ್ತೋ ಹದಿನೈದೋ ಇರಬಾರದೇಕೆ? ಆಧಾರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ 10ನ್ನು ನಮಗೆ ಇಷ್ಟ ಬಂದಂತೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೇ? ಇಂಥ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತ “ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.” ಭಗವಂತ ಮನುಷ್ಯನನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದನೆಂದೂ ಮನುಷ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾಲೋಕವನ್ನು ಸೃಜಿಸಿ ಭಗವಂತನನ್ನೇ ಅಳೆದನೆಂದೂ ಹೇಳಿಕೆ ಉಂಟು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 7 ಆಧಾರವಾಗಿರುವ – ಅಂದರೆ ಏಳು ಅಂಕೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುವ – ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯೂಹವನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಬರೆಯುವ, ಓದುವ ಕ್ರಮ ಕೆಳಗೆ ಕೊಡಲಾಗಿದೆ:

0 ಸೊನ್ನೆ 10 ಒಂದು ಸೊನ್ನೆ 20 ಎರಡು ಸೊನ್ನೆ
1 ಒಂದು 11 ಒಂದು ಒಂದು 21 ಎರಡು ಒಂದು
2 ಎರಡು 12 ಒಂದು ಎರಡು 22 ಎರಡು ಎರಡು
3 ಮೂರು 13 ಒಂದು ಮೂರು 23 ಎರಡು ಮೂರು
4 ನಾಲ್ಕು 14 ಒಂದು ನಾಲ್ಕು 24 ಎರಡು ನಾಲ್ಕು
5 ಐದು 15 ಒಂದು ಐದು 25 ಎರಡು ಐದು
6 ಆರು 16 ಒಂದು ಆರು 26 ಎರಡು ಆರು

ಇತ್ಯಾದಿ

ಈ ಸಾಪ್ತಮಿಕ ಪದ್ಧತಿಯಲ್ಲಿ 4 ಮತ್ತು 3ರ ಗುಣಲಬ್ಧವೆಷ್ಟು?

4 x 3 = 4 + 4 + + 4 = 15 (ಒಂದು ಐದು)

ಹೀಮದೆ 4 x 3 = 15 ಎಂದವನನ್ನು ಹುಚ್ಚ ಎಂದಿದ್ದೆವು. ಈಗ 4 x 3 = 15 ಸರಿ ಎನ್ನುತ್ತಿದ್ದೇವೆ! ಹಾಗಾದರೆ 4 x 3 = 15 ನಿಜವೇ. ಸುಳ್ಳೇ? ಯಾರಿಗೆ ಹದಿನೈದು ಅಥವಾ ಒಮದು ಐದು ಸುತ್ತು ಕಡಿಮೆ?

ದಾಶಮಿಕ ಪದ್ಧತಿಯಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು: ಸಾಪ್ತಮಿಕ ಪದ್ಧತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಜ.

ನನ್ನ ಎತ್ತರ 30 ಇಂಚು ನಿಜ; ನನ್ನ ಎತ್ತರ 1778 ಸೆಂಮೀ ಸಹ ನಿಜ. ನನ್ನ ಎತ್ತರ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವೆಂಬ ಕಾರಣದಿಂದ 70 = 1778 ಎಂದು ಬರೆದರೆ ಅಥವಾ ನನ್ನ ಎತ್ತರ 1778 ಇಂಚು ಎಂದು ಬರೆದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ (ವಾಸ್ತವಿಕ ಜೀವನದಲ್ಲಿಯೂ) ಅದೊಂದು ಮಹಾಪರಾಧವಾಗುವುದು.

“ನವದೆಹಲಿ ಭಾರತದ ರಾಜಧಾನಿ” – ನಿಜವೇ ಸುಳ್ಳೇ?

ಪ್ರಸಕ್ತ ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ ನಿಜ. ಬೇರೆ ಒಂದು ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗ ಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

“ಮನುವಿನ ಕಾಲದ ಸಾಮಾಜಿಕ – ನೈತಿಕ ಮಾನದಂಡಗಳಿಂದ ಇಂದಿನ ಸಾಮಾಜಿಕ ನೈತಿಕ ವ್ಯವಹಾರಗಳನ್ನು ಅಳೆದು ಮೌಲ್ಯನಿರ್ಣಯ ಮಾಡಬೇಡಿ” ಎಂದು ಬುದ್ಧಿಜೀವಿ ನುಡಿದಾಗ –

“ಅಂದಿಗದೇ ಚಂದ. ಇಂದಿಗಿದೇ ಚಂದ” ಎಂದೊಬ್ಬ ಸುಲಭ ಜೀವಿ ಜಾರಿದಾಗ –

“ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಚಲನವಲನದ ಅಳೆಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ” ಎಂದು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾಸಿದ್ಧಾಂತಿ ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟಾಗ –

“ದೇವರಿಗೆ ಇನ್ನೊಮದು ಯೋಜನೆಯಿದ್ದಿದ್ದರೆ ಅವನೊಬ್ಬ ಬೇರೆ ಮಾನವನನ್ನೇ ಸೃಷ್ಟಿಸಿರುತ್ತಿದ್ದ” ಎಂದು ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಉದ್ಗರಿಸಿದಾಗ –

ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಸುಪ್ತವಾಗಿರುವ ಭಾವವಾದರೂ ಇದೇ ಆಗಿದೆ: ಒಂದು ಸಂಪ್ರದಾಯದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಒಂದು ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದದ್ದು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಬೇಕೆಂದಿಲ್ಲ.

ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ

ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಕ್ಯಗಳ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ನಾವು ಬೆಳೆಸಿಕೊಂಡು ಬಂದಿರುವ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ, ಸತ್ಸಂಪ್ರದಾಯ ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ಹೇಳುವಲ್ಲಿಯೂ ಇದೇ ಭಾವ ಆಧ್ಯಾಹಾರವಾಗಿದೆ. ಜೀವನದ ಒಂದೊಂದು ವಿಚಾರದಲ್ಲಿಯೂ ಮೌಲ್ಯ ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಜನತೆ ಒಂದೊಂದು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪರಂಪರಾಗತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿಕೊಂಡುಬಂದಿದೆ. ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಮೌಲ್ಯ ನಿರ್ಣೀತವಾಗಿ, ತುಲನೆಯಿಂದ ಯಾವುದು ಶ್ರೇಷ್ಠ. ಯಾವುದು ಕನಿಷ್ಠ. ಯಾವುದು ಹಿರಿಯದು, ಯಾವುದು ಕಿರಿಯದು ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ಗುಣವರ್ಗದ ಮೌಲ್ಯದೊಡನೆ ಹೋಲಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ

“ಬೆಂಗಳೂರು ಸುಂದರ ನಗರ” ಎಂಬ ವಾಕ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು “ಹಿಮಾಲಯ ಭಾರತ ದೇಶದ ಉತ್ತರದ ಎಲ್ಲೆ” ಎಂಬ ವಾಕ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದೊಡನೆ ಹೋಲಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

“ಸಾರು ರುಚಿಕರವೇ, ವಿಮಾನಯಾನ ಆನಂದದಾಯಕವೇ?” ಎಂದು ಪ್ರಶ್ನಿಸಿದಾಗ ಉತ್ತರವೀಯಲು ತಿಳಿಯದಿರುವುದು ಈ ಕಾರಣದಿಂದ.

“ಸೂರ್ಯನಿಂದ ಭೂಮಿಯ ದೂರ 1; ನನ್ನ ಎತ್ತರ 180.” ಈ ವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಅಸಮಂಜಸತೆ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳ ತುಲನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವುದು. ಸೂರ್ಯ – ಭೂಮತಿ ಅಂತರ 1 ಖಗೋಲಮಾನ (148,800,000 ಕಿಮೀ); ನನ್ನ ಎತ್ತರ 180 ಸೆಂಮೀ.

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

“ಗಗನವನು ನೋಡು ಮೈನೀಲಿಗಟ್ಟುವವರೆಗೆ.”

“ದಾಸನ ಮಾಡಿಕೊ ಎನ್ನಾ, ಸ್ವಾಮಿ !”

“ಇಲ್ಲಿಂದ ಮೈಸೂರಿಗೆ ಎಷ್ಟು ದೂರ?”

“ಸ್ವಲ್ಪ ಕುಳಿತು ಹೋಗಬಾರದೇ?”

“ಸ್ಮರಣೆಯೊಂದೇ ಸಾಲದೇ?”

ಈ ವಾಕ್ಯಗಳು ನಿಜವೇ? ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ. ಸುಳ್ಳೇ? ತಿಳಿಯದು. ಹಾಗಾದರೆ? ನಿಜವೂ ಅಲ್ಲ. ಸುಳ್ಳೂ ಅಲ್ಲ, ಬೇರೆ ಒಂದು ಜಾತಿಯವು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಆಡುವ ಎಲ್ಲ ಮಾತುಗಳನ್ನೂ, ಬರೆಯುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನೂ (ಇದರಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಭಾಷೆಯೂ ಸೇರಿದೆ) ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:

  1. ನಿಜ ಮಾತುಗಳು
  2. ಸುಳ್ಳು ಮಾತುಗಳು
  3. ಎರಡೂ ಆಗದಿರುವ ಮಾತುಗಳು (ಉದ್ಗಾರಗಳು)

“ಪ್ರಬುದ್ಧ ಕರ್ಣಾಟಕ”ದಿಂದ ಆಯ್ದ ಒಂದು ಪರಿಚ್ಛೇದವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. “1. ತೋಳಿಲ್ಲದ ಒಳ ಉಡುಪು ತೊಟ್ಟಿರುವವರು ಮುಂಗೈ ತೋಳುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕೈಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕೋಟು ತೊಡುವ ಪದ್ಧತಿ ಯುರೋಪ್ ಅಮೆರಿಕಗಳಲ್ಲಿ ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿದೆ. 2. ಮುಂಗೈಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಶುಭ್ರ ಮಾಡಿ ಇಸ್ತ್ರಿ ಮಾಡಿಸಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಅಗಸನಿಗೆ ತರುವ ಹಣ ಸ್ವಲ್ಪ ಉಳಿತಾಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದೇ ಇದರ ರಹಸ್ಯ. 3. ಹಾನ್ ಆ ದಿನ ಅಂಥ ಒಂದು ಜೊತೆ ತೆಗೆಸಿ ಎಲ್ಲರ ಗೌರವ ಕಾಯ್ದುಕೊಂಡ.”

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಅದು ನಿಜವೇ ಸುಳ್ಳೇ. ಏಕೆ ಎಂಬ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ವಿವೇಚಿಸಿದರೆ, ಬಹುಶಃ (1), (3), (4) ನಿಜವಾದ ಮಾತುಗಳ ಸಾಲಿಗೂ (2) ಎರಡೂ ಆಗದಿರುವ ಮಾತುಗಳ ಸಾಲಿಗೂ ಸೇರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿಯೂ ವಾದ ಹೂಡಲು ಅವಕಾಶವಿದೆ.

ಗಣಿತ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ನಿಜವಲ್ಲದ ಮಾತು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತವೆನಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಅಲ್ಲದಿರುವ ಮಾತುಗಳು ಅಪ್ರಸ್ತುತ. ಅಭ್ಯಾಸದ ಸೌಕರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ವಾಕ್ಯ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಉಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆ ನಮ್ಮ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನೂ ಎರಡು ಪ್ರಧಾನ ದರ್ಜೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಬಹುದು: ಉಕ್ತಿಗಳು, ಹೇಳಿಕೆಗಳು.

“1. ವಿದ್ವತ್ತೆಂಬುದು ಅಂಗಡಿ, ಮುಂಗಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ದೊರೆಯುವ ವ್ಯಾಪಾರ ಸಾಮಗ್ರಿಯಲ್ಲ. 2. ದೀರ್ಘಕಾಲದ ತಪಸೈಯಿಂದ, ಸತತಾಭ್ಯಾಸದಿಂದ ನಿರಂತರವಾದ ಚಿಂತನಮಂಥನಗಳಿಂದ ದೊರಕಬಹುದಾದ ಅಮೃತವಸ್ತು.”

ಇಲ್ಲಿಯ ಉಭಯ ವಾಕ್ಯಗಳೂ ಉಕ್ತಿಗಳು.

“1. ಎರಡನೆಯ ಮಹಾಯುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಹಿಟ್ಲರ್ ಅಮೆರಿಕದ ವಿರುದ್ಧ ದಾಳಿ ಹೂಡಿದ. 2. ಅವನು ಬಳಸಿದ ಆಯುಧಗಳು ಬಿಲ್ಲುಬಾಣ. 3. ಆಗ ಭಾರತ ದೇಶ ಸ್ವತಂತ್ರ ರಾಷ್ಟ್ರವಾಗಿತ್ತು.”

ಇಲ್ಲಿ ಸಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾಕ್ಯವೂ ಉಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಗಮನಿಸಿ: ಮೌಲ್ಯರೀತ್ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತಪ್ಪು ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳು.

“1. ನೆಂಟರಿಷ್ಟರ ಮನೆಗೆ ಹೋಗುವುದಕ್ಕೆ ಗಾಡಿ ಸಾಕಾಗಿತ್ತು. 2. ಗಾಡಿಗಳನ್ನು ಬಸ್ಸಿನ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಡೆಯದೆ ಕಾಡು ದಾರಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಹೊಡೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದರು. 3. ಮನುಷ್ಯರೇ ಬಸ್ಸು ಕಂಡರೆ ಅಷ್ಟು ಬೆದರಿ ಬೀಳುವಾಗ ಇನ್ನು ಎತ್ತುಗಳ ವಿಚಾರ ಹೇಳಬೇಕೇ?”

ಇಲ್ಲಿ (1), (2) ಉಕ್ತಿಗಳು; (3) ಹೇಳಿಕೆ.

ಇದೇನೋ ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆಯಲ್ಲ. “ವಿದ್ವತ್ತೆಂಬುದು ಅಂಗಡಿ. ಮುಂಗಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ದೊರೆಯುವ ವ್ಯಾಪಾರಸಾಮಗ್ರಿಯಲ್ಲ” ಇದು ಉಕ್ತಿ “ಹಿಟ್ಲರ್ ಬಳಸಿದ ಆಯುಧಗಳು ಬಿಲ್ಲು ಬಾಣ.” ಇದು ಸಹ ಉಕ್ತಿ ವಿಪರ್ಯಾಸ.

ಇಲ್ಲಿಯೇ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರವೇಶ “ನಿತ್ಯಜೀವನದ ಅರ್ಥಸ್ವಾರಸ್ಯದಿಂದ ಅತೀತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣದ ಅಭ್ಯಾಸ. ಪ್ರಪಂಚ ಎಂದರೆ ಜೀವಿಗಳ ಆಟ. ಈ ಆಟದ ಹಿಂದೆ ಇರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸುವ ಬೌದ್ಧಿಕ ಕ್ರಿಯೆ ಗಣಿತ (“ಭಾವಿಸಾ ಸೂತ್ರಗಳ, ಮಂಕುತಿಮ್ಮ”).

ಹೊಸತರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಾಗೆಯೇ. ನಮ್ಮ ಸಂಸ್ಕಾರ, ರಾಗ, ಭಾವ, ದ್ವೇಷ ಮುಂತಾದವುಗಳಿಂದ ಬಿಡಿಸಿಕೊಂಡು. “ನಿಜ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳಾಗಿರುವ ಮಾತು ಮಾತ್ರ ಉಕ್ತಿ; ಮಿಕ್ಕುದೆಲ್ಲ ಹೇಳಿಕೆ” ಎನ್ನುವ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಮೇಲಿನ ಎರಡೂ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆದರೆ ನಮ್ಮ ತೀರ್ಮಾನದಲ್ಲಿ ವಿಚಿತ್ರವಾದದ್ದು ಏನೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದು.

ನಿಜಮೌಲ್ಯ

“ಭಾರತ 1947ರಲ್ಲಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಪಡೆಯಿತು.” ಇದು ನಿಜ ಉಕ್ತಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದರ ನಿಜಮೌಲ್ಯ “ನಿಜ” ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

“ಹಿಮಾಲಯ ಅರಬ್ಬೀ ಸಮುದ್ರದಲ್ಲಿದೆ.” ಇದು ಸುಳ್ಳು ಉಕ್ತಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದರ ನಿಜಮೌಲ್ಯ “ಸುಳ್ಳು” ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಎಂದೇ ಒಂದು ಉಕ್ತಿ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ನಿಜಮೌಲ್ಯ “ನಿಜ”ವೆಂದೂ ಸುಳ್ಳಾಗಿದ್ದರ ಅದರ ನಿಜಮೌಲ್ಯ “ಸುಳ್ಳೆ”0ದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಹಿಟ್ಲರನೂ ಗಾಂಧಿಯೂ ಮೂಲತಃ ಮನುಷ್ಯರೇ, ಆದರೆ ಗುಣಕರ್ವಗಳಿಂದ ಒಬ್ಬ ಖಳನಾಯಕನಾದರೆ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಮಹಾಮಹಿಮರದರು. ಇಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಈ ಎರಡು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಗುಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವೋ ಹಾಗೆ ಎರಡು ಉಕ್ತಿಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಅವರು ಮನುಷ್ಯ ವರ್ಗವಿದರೂರರಾಗುವುದಿಲ್ಲವಷ್ಟೆ!

ಉಕ್ತಿಗಳ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವಾಗ ರಾಗ, ಭಾವ, ಪ್ರೀತಿ, ದ್ವೇಷ ಮುಂತಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತರಾಗದೇ ನಿರ್ಲಿಪ್ತರಾಗಿಲು ಇರುವ ಮಾರ್ಗ ಒಂದೇ: ಉಕ್ತಿಗಳ ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆ – ಉಕ್ತಿಪ್ರತೀಕೀರಣ.

ಮೂರನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ “ಪ್ರೌಢ” ಲೆಕ್ಕದ ಪಾಠ (ಲೆಕ್ಕ ಬಲು ದುಕ್ಕ ಕಾಣಕ್ಕ!) ಬಲು ಭರದಿಂದ ನಡೆಯುತ್ತಿತ್ತು.

“ಒಂದು ಬುಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ 12 ಕಿತ್ತಳೆ ಹಣ್ಣುಗಳಿವೆ. ಅನಂತ ಅದರಿಂದ 3 ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಬುಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಹಣ್ಣುಗಳೆಷ್ಟು?” ಉಪಾಧ್ಯಾಯರ ಬೆತ್ತದ ದನಿ ತರಗತಿಯ ಶಿಶುಗಳ ಮುಂದೆ ಗರ್ಜಿಸಿದಾಗ ಅನಂತನೆಂಬ ಹುಡುಗ, “ನಾನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ ಸಾರ್” ಎಂದು ಅಳುದನಿಯಲ್ಲಿ ತೊದಲಿದ.

ಇಲ್ಲಿ ಕಿತ್ತಳೆಹಣ್ಣು, ಬುಟ್ಟಿ, ಅನಂತ ಮುಂತಾದವು ವಾಸ್ತವ ಲೋಕದ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯೆ ರಾಗ, ಭಾವ ದೂರವಾಗಿರುವುದು ಕಷ್ಟ. ಅದೂ ಎಳೆಯ ಮನಸುಗಳಲ್ಲಂತೂ ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ.

“12ರಿಂದ 3 ಕಳೆದರೆಷ್ಟು?” ಇದು ಮೇಲಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕ ರೂಪ, ಇಲ್ಲಿ 9 ಎಂದರೆ ನಿಜ. ಬೇರೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಳಿದರೂ ಸುಳ್ಳು ಈ 12 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನುವುದು ಕಿತ್ತಳೇ ಹಣ್ಣು ಮಾತ್ರವೇ ಆಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಬಾಳೆ ಹಣ್ಣಾಗಬಹುದು ಮಾವಿನ ಹಣ್ಣಾಗಬಹುದು. ಬೀಗಗಳಾಗಬಹುದು. ಪೆನ್ಸಿಲ್ಲುಗಳಾಗಬಹುದು.

ಉಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕ. ಖ, ಗ, ಘ ಮುಂತಾದ ಅಕ್ಷರ ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕ: ಸೂರ್ಯ ಪೂರ್ವದಲ್ಲಿ ಮೂಡುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ ಕ – ಪ್ರತೀಕ “ಸೂರ್ಯ ಪೂರ್ವದಲ್ಲಿ ಮೂಡುತ್ತದೆ” ಎನ್ನುವ ಉಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ

ಖ: ಬೆಂಗಳೂರು ಆಂದ್ರಪ್ರದೇಶದ ರಾಜಧಾನಿ.

ಒಂದೊಂದು ಉಕ್ತಿಗೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪ್ರತೀಕವನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಇಲ್ಲವಾದರೆ ಪ್ರತೀಕಗಳ ನಾಡಿನಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲ ಉಂಟಾಗುವುದು.

“ಮಡಿಕೇರಿ ಕೊಡಗು ಜಿಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿದೆ” ಎಂಬ ಉಕ್ತಿಯನ್ನು ಕ ಅಥವಾ ಖ ಸೂಚಿಸುವಂತಿಲ್ಲ. ಬದಲು “ಗ”ವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದೊಂದು ಪ್ರತೀಕವೂ ಒಂದೊಂದು ಉಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು.

ಉಕ್ತಿಯ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ನಿಜವಾಗಿರುವಾಗ ‘1’ ಎಂದೂ ಸುಳ್ಳಾಗಿರುವಾಗ ‘0’ ಎಂದೂ ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಘ: ಮದ್ರಾಸು ನಗರ ಪಶ್ಚಿಮ ಕರಾವಳಿಯಲ್ಲಿದೆ.

ಙ: ಮೈಸೂರು ಶ್ರೀಗಂಧದ ತವರೂರು.

ಇದುವರೆಗೆ ಉದಾಹರಿಸಿದ ಐದು ಉಕ್ತಿಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಸೂಚಕ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉಕ್ತಿ ನಿಜಮೌಲ್ಯ
1
0
1
0
1

ಇಂಥ ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕದ ಹೆಸರು ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕ.

ಮೇಲೆ ಉದಾಹರಿಸಿದ ಐದು ಉಕ್ತಿಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಂದೇ ಒಂದು ಭಾವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುವು. ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಅವು ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳು. ಎಲ್ಲ ಉಕ್ತಿಗಳೂ ಹೀಗೆಯೇ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಎರಡು ಮೂರು ಅಥವಾ ಅಧಿಕ ಭಾವಗಳು ಎರಕಗೊಂಡ ಸಂಯಕ್ತೋಕ್ತಿ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯೂ ಇದೆ.

ಚ : ಭೀಮ ದುರ್ಯೋಧನನ ತೊಡೆಗಳನ್ನು ಮುರಿದ ಮತ್ತು ಊರುಭಂಗ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ ಈಡೇರಿಸಿದ.

ಛ: ನಾನು ಸಾಯಂಕಾಲ ಮನೆಗೆ ಬರುತ್ತೇನೆ ಅಥವಾ ಸಿನೆಮಾಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇನೆ.

ಜ : ನೀನು ಅಶ್ವತ್ಥಾಮನನ್ನು ಸೇನಾನಾಯಕನನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿದ್ದರೆ ಆಗ ನಾನೆ ಚಕ್ರಧಾರಿಯಾಗಿ ಯುದ್ಧರಂಗಕ್ಕೆ ದುಮುಕಿರುತ್ತಿದ್ದೆ.

ಇವು ವಿವಿಧ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳ ನಿದರ್ಶನಗಳು. ಇವನ್ನು ರಚಿಸಿರುವ ಬಿಡಿ (ಸರಳ) ಉಕ್ತಿಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

ಚ : 1. ಭೀಮ ದುಯೋಧನನ ತೊಡೆಗಳನ್ನು ಮುರಿದ. 2.

[ಭೀಮ] ಊರುಭಂಗ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ ಈಡೇರಿಸಿದೆ.

ಛ : 1. ನಾನು ಸಾಯಂಕಾಲ ಮನೆಗೆ ಬರುತ್ತೇನೆ, 2. [ನಾನು ಸಾಯಂಕಾಲ] ಸಿನೆಮಾಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇನೆ.

ಜ : 1, ನೀನು ಅಶ್ವತ್ಥಾಮನನ್ನು ಸೇನಾನಾಯಕನನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇತ್ತು. 2. [ಆಗ] ನಾನೇ ಚಕ್ರಧಾರಿಯಾಗಿ ಯುದ್ಧರಂಗಕ್ಕೆ ದುಮುಕಿರುತ್ತಿದ್ದೆ.

ಈ ವಿವಿಧ ಬಿಡಿ ಉಕ್ತಿಗಳ ಜೋಡಣೆ ಹೇಗೆ ನಡೆದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕ ತೋರಿಸುವುದು:

ಉಕ್ತಿ ಜೋಡಣೆಯ ಪದ ಆ ಪದದ ಪ್ರತೀಕ
ಮತ್ತು Ù
ಅಥವಾ v
ಇದ್ದರೆ…ಆಗ ®

“ಮತ್ತು (Ù), “ಅಥವಾ” (v)…ಆಗ” (®)

ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಕಗಳೆಂದು ಹೆಸರು.

ಭಿನ್ನಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ

ಎರಡು ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಲಭಿಸುವ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿ ನಿಜವಾಗಿಯೂ “ಉಕ್ತಿ”ಯೇ ಆಗಿ ಉಳಿಯುವುದೇ (ನಿಜಮೌಲ್ಯ ನಿಜ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂಥ ಹೇಳಿಕೆ), ಉಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದರ ನಿಜಮೌಲ್ಯವೇನು? ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಆ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳೇನು? ಇವೇ ಮುಂತಾದ ಪ್ರಶ್ನಾಪರಂಪರೆಯೇ ಈಗ ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಕಲಕಿ ಬಿಡುವುದು.

ಸುಲಭ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಮುಂದಿನ ದಾರಿ ಕಂಡುಕೊಂಡು ಸೂತ್ರಗಳ ನಿರೂಪಣೆ ಮಾಡುವುದು ಯೋಗ್ಯಕ್ರಮ (ಆವರಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಸೂಚಕಗಳು).

1. ಕ: ಆಕಾಶ ನೀಲವಾಗಿದೆ (1)
ಖ: ಶುಕ್ರ ಒಂದು ಗ್ರಹ (1)
2. ಕ: ಆಕಾಶ ನೀಲವಾಗಿದೆ (1)
ಖ: ಶುಕ್ರ ಒಂದು ನಕ್ಷತ್ರ (0)
3. ಘ: ಆಕಾಶ ಹಸುರಾಗಿದೆ (0)
ಖ: ಶುಕ್ರ ಒಂದು ಗ್ರಹ (1)
4. ಘ: ಆಕಾಶ ಹಸುರಾಗಿದೆ (1)
ಗ: ಶುಕ್ರ ಒಂದು ನಕ್ಷತ್ರ (0)

ಎರಡು ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ. ನಿಜ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕ್ರಮ ಹೀಗಿದೆ:

ಮೊದಲ ಜೊತೆ    : 1, 1

ಎರಡನೆಯ ಜೊತೆ : 1, 0

ಮೂರನೆಯ ಜೊತೆ : 0, 1

ನಾಲ್ಕನೆಯ ಜೊತೆ : 0, 0

ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವಿಧದ ಜೋಡಣೆಯೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಮೂರು ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳಿರುವಾಗ ಎಷ್ಟು ವಿಧದ ಜೋಡಣೆಗಳು ದೊರೆಯಬಹುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ಅವನ್ನು ಬರೆದೇ ನೋಡುವುದು ಯೋಗ್ಯ. ಹೀಗೆ ಬರೆದಂಥ ವಿವಿಧ ಜೋಡಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಿದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕ ದೊರೆಯುವುದು:

ಮೊದಲ ಜೋಡಣೆ 1, 1, 1

ಎರಡನೆಯ ಜೋಡಣೆ 1, 1, 0

ಮೂರನೆಯ ಜೋಡಣೆ 1, 0, 1

ನಾಲ್ಕನೆಯ ಜೋಡಣೆ 1, 0, 0

ಐದನೆಯ ಜೋಡಣೆ 0, 1, 1

ಆರನೆಯ ಜೋಡಣೆ 0, 1, 0

ಏಳನೆಯ ಜೋಡಣೆ 0, 0, 1

ಎಂಟನೆಯ ಜೋಡಣೆ 0, 0, 0

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರನೆಯ ಜೋಡಣೆಯ ಅರ್ಥವಿಷ್ಟು : ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳು ಸುಳ್ಳು (0), ನಿಜ (1), ಸುಳ್ಳು (0) ಆಗಿರುವ ಮೂರು ಭಿನ್ನ ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳ ಜೋಡಣೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಉಕ್ತಿಗಳ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಬೆಲೆಯಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಬೇಕು.

ಎರಡು ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳಿರುವಾಗ ಜೋಡಣೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4 = 22

ಮೂರು ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳಿರುವಾಗ ಜೋಡಣೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ 8 = 24

ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಸಿ n ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳಿರುವಾಗ ಜೋಡಣೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2n ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಈ ಹಿಂದೆ ಬರೆದಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಜೊತೆ ಸರಳೋಕ್ತಿಗಳಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈಗ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ :

ಕ ಮತ್ತು ಖ : ಆಕಾಶ ನೀಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶುಕ್ರ ಒಂದು ಗ್ರಹ

ಕ ಮತ್ತು ಗ : ಆಕಾಶ ನೀಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶುಕ್ರ ಒಂದು ನಕ್ಷತ್ರ

ಘ ಮತ್ತು ಖ : ಆಕಾಶ ಹಸುರಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶುಕ್ರ ಒಂದು ಗ್ರಹ

ಘ ಮತ್ತು ಗ : ಆಕಾಶ ಹಸರುರಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶುಕ್ರ ಒಂದು ನಕ್ಷತ್ರ

ಕ ಅಥವಾ ಖ : ಆಕಾಶ ನೀಲವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಶುಕ್ರ ಒಂದು ಗ್ರಹ

ಕ ಮತ್ತು ಗ : ಆಕಾಶ ನೀಲವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಶುಕ್ರ ಒಂದು ನಕ್ಷತ್ರ

ಘ ಮತ್ತು ಖ : ಆಕಾಶ ಹಸುರಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಶುಕ್ರ ಒಂದು ಗ್ರಹ

ಘ ಮತ್ತು ಗ : ಆಕಾಶ ಹಸರುರಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಶುಕ್ರ ಒಂದು ನಕ್ಷತ್ರ

ಕ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಖ : ಆಕಾಶ ನೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಶುಕ್ರ ಒಂದು ಗ್ರಹ

ಕ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಗ : ಆಕಾಶ ನೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಶುಕ್ರ ಒಂದು ನಕ್ಷತ್ರ

ಘ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಖ : ಆಕಾಶ ಹಸುರಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಶುಕ್ರ ಒಂದು ಗ್ರಹ

ಘ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಗ : ಆಕಾಶ ಹಸುರಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಶುಕ್ರ ಒಂದು ನಕ್ಷತ್ರ

ಈ ಹನ್ನೆರಡು ಸಂಯುಕ್ತೋಕ್ತಿಗಳ ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ.

ಕ Ù ಖ; ಕ Ù ಗ; ಘ Ù ಖ; ಘ Ù ಗ

ಕ v ಖ ಕ v ಗ; ಘ v ಖ; ಘ v ಗ

ಕ ® ಖ; ಕ ® ಗ; ಘ ® ಖ; ಘ ® ಗ