ಬಡ್ಡಿ ಗಣಿತ

ಗಣಿತಶ್ರೀಮಂತ ರಾಮಾನುಜ ದೀನವಾಗಿ ಬಡ್ಡಿವ್ಯವಹಾರಧೀಮಂತ ಶಕುನಿಜನಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿ 100 ರೂಪಾಯಿ ಕಡ ಬೇಡಿದ. ಈ ವಿತ್ತಶೂನ್ಯನಿಗೆ ಸಾಲವಿತ್ತರೆ ತನಗೆ ಹಿಂತಿರುಬರುವ ಮೊತ್ತ ಸೊನ್ನೆ ಖಾತ್ರಿ ಎಂದು ಶಕುನಿಜನಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಆದರೂ ನೇರವಾಗಿ ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗದೆ ಶೇಕಡಾ ಸಾಲಿಯಾನ 100 ಬಡ್ಡಿ ದರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಲ ಕೊಡುವುದು ಸಾಧ್ಯವೆಂದ ರಾಮಾನುಜ ಈ ಷರತ್ತನ್ನು ಒಪ್ಪಿ ಸಾಲ ಪಡೆದು ಮರಳಿದ. ವರ್ಷಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಸಲು ಬಡ್ಡಿ ಸಹಿತ ರೂಪಾಯಿ 200 ಪಾವತಿಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಚುಕ್ತಗೊಳಿಸಿದ. ಶಕುನಿಜನ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ ವರ್ಚಸ್ಸು ವರ್ಧಿಸಿತು.

ಕೆಲವು ತಿಂಗಳ ತರುವಾಯ ರಾಮಾನುಜನಿಗೆ ಮತ್ತೆ ಹಣದ ದರದು ತಟ್ಟಿತು. ಪುನಃ ಶಕುನಿಜನಲ್ಲಿಗೆ ಹೋದ. ಹಿಂದಿನ ಲಾಭದ ರುಚಿ ಸವಿದಿದ್ದ ಈತ ಶೇಕಡಾ ಸಾಲಿಯಾನ 100 ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ ದರದಲ್ಲಿ 6 ತಿಂಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸುವ ಷರತ್ತಿನಲ್ಲಿ 100 ರೂಪಾಯಿ ಸಾಲ ನೀಡಿದ. ಸಾಲಗಾರನಿಗೆಲ್ಲಿದೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಸವಲತ್ತು? ವರ್ಷಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜ ಶಕುನಿಜನಿಗೆ 225ರುಪಾಯಿ ಸಲ್ಲಿಸಿ ಕೈಮುಗಿದ.

ಮುಂದಿನ ಸಲ ಸಾಲ ನೀಡಿದಾಗ ಇತರ ಅಂಶಗಳು ಹಿಂದಿನವೇ ಇದ್ದು ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸುವ ಅವಧಿಯನ್ನು 3 ತಿಂಗಳಿಗೆ ಕಿರಿದುಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. ಅಂದರೆ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಸಲು 100 ರೂಪಾಯಿ ಇದ್ದದ್ದು ಮೊದಲ ಪಾದಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ 125ಕ್ಕೂ ಎರಡನೆಯ ಪಾದಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ರೂಪಾಯಿ 15.25ಕ್ಕೂ ಮೂರನೆಯ ಪಾದಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ರೂಪಾಯಿ 241.14ಕ್ಕೂ ಏರಿತು. ಸರಿ ಈ (ಅ)ವ್ಯವಹಾರವನ್ನೂ ಒಪ್ಪಿದ ರಾಮಾನುಜ 100ರುಪಾಯಿ ಸಾಲ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ವರ್ಷಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಶಕುನಿಜನಿಗೆ ರುಪಾಯಿ 244.14 ಸಂದಾಯಗೈದು ಕೃತಾರ್ಥನಾದ.

ಕಟುಕ, ಕುಡುಕ, ಸಾಳಿಗೆ ಮೊದಲಾದ ವಾವವ್ಯವಹಾರಿಗಳು ತಮ್ಮ ವೃತ್ತಿ ಕುದಿರಿದಂತೆ ಅಧಿಕ ಲಾಭದಾಹಿಗಳೂ ಅಧಿಕ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಪಾಯಕಾರಿ ರೂಪಗಳೂ ಆಗುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಶಕುನಿಜ ಈ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಅಪವಾದವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಮುಂದೆ ರಾಮಾನುಜ ಪದೇ ಪದೇ ಸಾಲ ಕೇಳಲು ಬಂದಾಗ ಶಕುನಿಜ ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸುವ ಅವಧಿಯನ್ನು ಕ್ರಮಶಃ ಹ್ರಸ್ವಗೊಳಿಸುತ್ತ ಹೋಗಿ ಅಧಿಕಾಧಿಕ ಲಾಭ ಗಿಟ್ಟಿಸತೊಡಗಿದ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸುವ ಅವಧಿ ಎರಡು ತಿಂಗಳಾದಾಗ ವರ್ಷಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುವ ಮೊತ್ತ ರೂ. 252.16, ಒಂದು ತಿಂಗಳಾದಾಗ ರೂ 261.30, ಅರ್ಧತಿಂಗಳಾದಾಗ (ಪಕ್ಷ) ರೂ 266.37, ಕಾಲು ತಿಂಗಳಾದಾಗ (ವಾರ) ರೂ 269.26 ಇತ್ಯಾದಿ ಆಗುತ್ತಿದ್ದುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿದಿನ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಮೊತ್ತ 271.46 ರೂಪಾಯಿಗೆ ಏರಿತು.

ಗಣಿತಶುಂಠ, ಆದರೆ ವ್ಯವಹಾರಶುಂಠಿ ಶಕುನಿಜ ಇಲ್ಲೊಂದು ಹೊಸ ಆಮಿಷ ಕಂಡ: ಅವಧಿ ಕಿರಿದಾದಂತೆ ಮೊತ್ತ ಹಿರಿದಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಅವಧಿಯನ್ನು ತೀರ ಕಿರಿದುಗೊಳಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1 ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಕೋಟಿಸಲ, ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ ಗಣಿಸಿದ್ದಾದರೆ ವರ್ಷಾಂತದಲ್ಲಿ ತಾನು ರಾಮಾನುಜನಿಂದ ವಿಶ್ವಾಮಿತ್ರ ಹರಿಶ್ಚಂದ್ರನಿಂದ ಕಕ್ಕಿಸಿದುದುಕ್ಕಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಪತ್ತನ್ನು ದಕ್ಕಿಸಬಹುದೆಂದು ಮಂಡಿಗೆ ಮೆದ್ದ.

ಮುಂದಿನ ಸಲ ರಾಮಾನುಜ ದಾನಿ ಶಕುನಿಜನ ಬಳಿ ಹೋಗಿ ಸಾಲ ಯಾಚಿಸಿದಾಗ ಷರತ್ತು ಇನ್ನೂ ತೀವ್ರವಾಯಿತು. ಶಕುನಿಜ ಹೇಳಿದ : “ನೀನು ನನಗೆ ಶೇಕಡಾ ಸಾಲಿಯಾನ 100 ಚಕ್ರ ಬಡ್ಡಿದರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಕೋಟಿಸಲು ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸಿ ವರ್ಷಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಸಲು ಬಡ್ಡಿ ಸಹಿತ ಪಾವತಿ ಮಾಡುವುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ 100 ರೂಪಾಯಿ ಕಡ ಕೊಡಬಲ್ಲೆ.”

“ತಥಾಸ್ತು” ಎಂದ ರಾಮಾನುಜ

ವರ್ಷಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜ ಕೇವಲ ರೂ 271.83 ತಂದುಕೊಟ್ಟಾಗ ಹೊನ್ನ ಕೊಪ್ಪರಿಗೆಯನ್ನೇ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ್ದ ಶಕುನಿಜ ಕ್ರೋಧತಪ್ತನಾದ. ವಾದ ವ್ಯರ್ಥವಾದಾಗ ಆತನ ವಿರುದ್ಧ ದಾವೆ ಹೂಡಿದ. ರಾಮಾನುಜನೇ ತನ್ನ ಪ್ರತಿವಾದ ಮಂಡಿಸಿದ: ಶಕುನಿಜ ವಿಧಿಸಿದ್ದ ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರವೇ ತಾನು ಆತನಿಗೆ ಮೊತ್ತ ಪಾವತಿಸಿದ್ದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ದಾವೆಹೂಡಲು ಅವಕಾಶವೇ ಇಲ್ಲ. ಇದು ಪ್ರತಿವಾದದ ಸಾರ, ರಾಮಾನುಜ ಜಯಶೀಲನಾದ.

ಇಲ್ಲಿಯ ಗಣಿತ ಸ್ವಾರಸ್ಯವಿದು:

1 ಸಲ ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸುವಾಗ ವರ್ಷಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತ ರೂ 200 = 100 (1+1/1)1

2 ಸಲ ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮೊತ್ತ ರೂ 225 = ರೂ 100(1+1/2)2

3 ಸಲ ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮೊತ್ತ ರೂ 244.14 = ರೂ 100(1+1/3)3

ಇದೇ ಧಾಟಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿದು nಸಲ ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸುವಾಗ ವರ್ಷಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತ ರೂ ಆಗುವುದೆಂದು ತರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ n ನಮಗೆ ಇಷ್ಟಬಂದ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ: ಇದು 1, 2, 3, 4 ಇತ್ಯಾದಿ ಯಾವ ಬೆಲೆ ಬೇಕಾದರೂ ಪಡೆಯಬಹುದು; ಮತ್ತು ಹಾಗೆ ಪಡೆದಾಗ ಈ ಸೂತ್ರ ಆಯಾ ಬೆಲೆಗೆ ಹೊಂದುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೊಡುವುದು.

ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸುವ ಅವಧಿಯನ್ನು ಕಿರಿದುಗೊಳಿಸುವುದೆಂದರೆ nನ್ನು ಹಿರಿದು ಗೊಳಿಸುವುದೆಂದರ್ಥ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಕೋಟಿಸಲು ಬಡ್ಡಿ ಸೇರಿಸಬೇಕಾದಾಗ nನ ಬೆಲೆ ವರ್ಷದಲ್ಲಿರುವ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೋಟಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಫಲಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗುತ್ತದೆ.

nನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಲಂಬಿಸಿದಾಗ  ನ ಬೆಲೆ 2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ (converges), ಅನಂತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಬೆಲೆ ಸರಿಸುಮಾರು 2.71828. ಎಂದೇ ರಾಮಾನುಜ ರೂ 100×2.71828 = ರೂ 271.82ನ್ನು ಪಾವತಿಸಿದ್ದಾಗಿದೆ.

ಪದಗಳು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೂ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಅನಂತವಾಗಬೇಕಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಗತಿ 1+0.5+0.25+0.125+……. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ವೇದ್ಯವಾಗುವುದು. ಇಲ್ಲಿ 2ನೆಯ ಪದದಿಂದ ತೊಡಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವೂ ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿದೆ. ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತಪದಗಳಿದ್ದರೂ ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮಾತ್ರ ಅನಂತವಲ್ಲ. 2ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಒಂದು ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಎರಡುಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 1.5; ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 1.75; ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 1.875; ಹತ್ತು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 1.998046875. ನೀವು ಎಷ್ಟೆಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಪದ ಆಯುತ್ತೀರೋ ಮೊತ್ತ ಅಷ್ಟಷ್ಟು 2ನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಎಂದೂ 2 ಆಗದು. ಸಾಮೀಪ್ಯ ಸರಿ. ಸಾಯುಜ್ಯ ಸಲ್ಲ ಎನ್ನುವ ಸ್ಥಿತಿ.

ಅನಂತ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಸಾಂತ ಪರಿಮಿತಿಗೆ ಅಭಿಸರಿಸುವ ಈ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಗಣಿತ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಭಿಸರಣ ಶ್ರೇಣಿ (convergent serics) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಹೀಗಲ್ಲದೇ ಅನಂತ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಸಾಂತ ಪರಿಮಿತಿಗೆ ಅಭಿಸರಿಸದೆ, ಯಾವ ಮೇರೆಗೂ ಬಂಧಿತವಾಗದೆ ಬೃಹತ್ತಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತ ಹೋದರೆ ಆ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಅಪಸರಣ ಶ್ರೇಣಿ (divergent series) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ 1+2+3+4+……..

ಅಭಿಸರಣ ಶ್ರೇಣಿಯ ‘ಅವಾಂತರ’ವನ್ನು ಬಡ್ಡಿಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನೋಡಿದೆವು. ಅಪಸರಣ ಶ್ರೇಣಿಯ ‘ಅನಾಹುತ’ವನ್ನು ಹುಳುವಿನ ಸರಿತದಲ್ಲಿ ನೋಡೋಣ.

ಹುಳುವಿನ ಸರಿತ

1 ಕಿಲೊಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ನೇರ ರಬ್ಬರ್ ದಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಹುಳು ಸರಿಯುತ್ತಿದೆ. ಅದರ ವೇಗ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 1 ಸೆಂಮೀ. ಹಾಗಾದರೆ ಹುಳುವಿಗೆ ದಾರದ ಒಂದು ಕೊನೆಯಿಂದ (ಇದನ್ನು ಬಂಧಿತ ಕೊನೆ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ) ಇನ್ನೊಂದು ಕೊನೆಗೆ (ಇದನ್ನು ಮುಕ್ತಕೊನೆ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ) ತಲಪಲು ಬೇಕಾಗುವ ಕಾಲಾವಕಾಶ ಎಷ್ಟು?

1 ಲಕ್ಷ ಸೆಕೆಂಡ್ ಎಂದು ಒಡನೆ ಹೇಳುವಿರಿ. ಏಕೆಂದರೆ 1 ಕಿಮೀನಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟು ಸೆಂಮೀ ಇವೆ. ಇದು ಸರಿ – ದಾರದ ಉದ್ದ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವಾಗ.

ಈ ಸುಲಭ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಒಂದು ಜಟಿಲ ಷರತ್ತು ಲಗತ್ತಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ದಾರದ ಮುಕ್ತಕೊನೆ ತಾತ್‌ಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟು ಇಡೀ ದಾರ 1 ಕಿಮೀ ವಿಸ್ತರಣೆ ಪಡೆಯಲಿ ಮತ್ತು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆ ಏಕಪ್ರಕಾರವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ 1 ಕಿಮೀ ಉದ್ದವಿದ್ದ ದಾರ 1 ಸೆಕೆಂಡ್ ಗತಿಸಿದಾಗ 2 ಕಿಮೀ. 2 ಸೆಕೆಂಡ್ ಗತಿಸಿದಾಗ 3 ಕಿಮೀ. 4 ಸೆಕೆಂಡ್ ಗತಿಸಿದಾಗ 4 ಕಿಮೀ ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ವೃದ್ಧಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಹುಳು ದಾರದ ಮೇಲೆ ಸರಿಯುತ್ತಿರುವಾಗಲೇ ಈ ವಿವಿಕ್ತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಘಟಿಸುತ್ತವೆ.

ಈ ಹೊಸ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಹುಳು ದಾರದ ಮುಕ್ತ ಕೊನೆ ತಲಪಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲಾವಕಾಶ ಎಷ್ಟು?

ನಿಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಜ್ಞೆ (common sense = ಪೂರ್ವಗ್ರಹಗಳ ಮೊತ್ತ?) ಈ ಹುಚ್ಚು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನಕ್ಕು ಉತ್ರವೀಯುತ್ತದೆ: “ಶುದ್ಧ ಬಾಲಿನ ಪ್ರಶ್ನೆ! ಹುಳು 1 ಸೆಂಮೀ ಸರಿದಾಗ ದಾರದ ಉದ್ದ 1 ಕಿಮೀ ವೃದ್ಧಿಸಿರುತ್ತಲ್ಲ. ಅಂದರೆ 100000 ಸೆಂಮೀ ವಿಸ್ತರಣೆ ಪಡೆದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಿದ್ದ ಮೇಲೆ ಹುಳು ಎಂದಾದರೂ ಮುಕ್ತಕೊನೆ ತಲಪುವುದುಂಟೆ? ಎಂದೂ ತಲಪಲಾರದು.”

ನಮ್ಮ ಎಡ ಹೆಬ್ಬೆಟ್ಟಿನ ಗುರುತನ್ನು ಈ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೊದಲು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಕ್ಕಣೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಮ್ಮೆ ಓದೋಣ: ಹುಳುವಿನ ಸಹಿತವಾಗಿ ದಾರ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಡುವುದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಹುಳುವಿಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು ಮುನ್ನಡೆ (lead) ಒದಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ನಿಜ ಚಲನೆಯಾದ 1 ಸೆಂಮೀಗೆ ಒದಗುವ ಬೋನಸ್ ಇದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಅದು ಆಗಿನ ದಾರದ ಉದ್ದದ ಎಷ್ಟು ಅಂಶ ಗಮನಿಸಿರುವುದೆಂಬುದನ್ನು ಗಣಿಸುವುದು ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಮ.

ಗಣನೆಯ ಸೌಲಭ್ಯಕ್ಕಾಗಿ 1 ಕಿಮೀ = 100000ಸೆಂಮೀ = l ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಒಂದನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ದಾರದ ಉದ್ದ l. ಎರಡನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ 2 l, ಮೂರನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ 3 l, ಇತ್ಯಾದಿ nನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ದಾರದ ಉದ್ದದ n l ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಹುಳು –

1ನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ದಾರದ 1/ l ಅಂಶ ಮುಂದುವರಿದಿರುತ್ತದೆ.

2ನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ದಾರದ 1/2 l ಅಂಶ ಮುಂದುವರಿದಿರುತ್ತದೆ.

3ನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ದಾರದ 1/3 l ಅಂಶ ಮುಂದುವರಿದಿರುತ್ತದೆ. ಇತ್ಯಾದಿ.

ಇದೇ ಧಾಟಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿದು ಹುಳು n l ನೆಯ ಅಂಶ ಗಮಿಸಿರುತ್ತದೆಂದು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ nಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಹೂಳು ಗಮಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ದೂರ ಆಗಿನ ದಾರದ ಉದ್ದದ

(1/nl(1/1+1/2+1/3+………+1/n) ಅಂಶ.

ಇಲ್ಲಿ nನ ಬಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಆದಂತೆ ಆವರಣಗಳ ಒಳಗಿರುವ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಬೃಹತ್ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿಸುವ ಮಹಾಬೃಹತ್ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗುವುದೆಂದು ಗಣಿತ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದೊಂದು ಅಪಸರಣ ಶ್ರೇಣಿ. (divergent series). ಇದರ ಅನಂತ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಬಡ್ಡಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊತ್ತದಂತಲ್ಲದೆ) ಅನಂತವೇ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಅಂದ ಮೇಲೆ nನ ಯಾವುದೋ ಬೆಲೆಗೆ ಆವರಣಗಳ ಒಳಗಿರುವ ಮೊತ್ತ l ಗಿಂತ (100000ಕ್ಕಿಂತ) ಅದೇ ಜಾಸ್ತಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗುವುದೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. (ಈ ಮೊತ್ತವೆಂದೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗದು. ನೀವೇ ಬೇಕಾದರೆ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ನೋಡಿ.)

ಹಾಗೆ ಆದಾಗ (ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ) ಅಂದರೆ ದಾರದ ಉದ್ದ nlನ್ನು ಮೀರಿದಾಗ ಮತ್ತು ಕಾಲ n ಸೆಕೆಂಡ್ ಅದೇ ಸಂದಾಗ ಮಾತ್ರ ಹುಳು ಗಮಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ದಾರ ದಾರದ ಆಗಿನ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ ತುಸು ಜಾಸ್ತಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಆ ಮುಹೂರ್ತದಲ್ಲಿ ಹುಳು ದಾರದ ಮುಕ್ತ ಕೊನೆ ದಾಟಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ನಿಧಾನ ಯಾತ್ರೆಗೈಯುತ್ತಿರುತ್ತದೆ!

ಆ ಮುಹೂರ್ತ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಂದು ಬರುತ್ತದೆ? nನ ಯಾವ ಬೆಲೆಗೆ ಆವರಣಗಳ ಒಳಗಿರುವ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 100000ವನ್ನು ಅದೇ ಮೀರಿರುತ್ತದೋ ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆಗ! nನ ಈ ಬೆಲೆ ಗಣಿಸಲು ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಗಣಿಸುವ ಸಾಹಸಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಕೈ ಹಾಕಬೇಡಿ; ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಯತ್ನ ದೇಶದ (space) ಅಗಾಧತೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಾಲದ (time) ಅನಂತತೆಯಲ್ಲಿ ಮಣ್ಣುಗೂಡುವುದು ಶತಸಿದ್ಧ, ಏಕೆ ಗೊತ್ತೆ?

ನಮ್ಮ ವಿಶ್ವದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು (ಹಲವು ಕೋಟಿ ಜ್ಯೋತಿವರ್ಷಗಳು: ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಸುಮಾರು 300, 000 ಕಿಮೀ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಧಾವಿಸುವ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣ 1 ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಗಮಿಸುವ ದೂರ 1 ಜ್ಯೋತಿರ್ವರ್ಷ) ದಾಟುವಷ್ಟು ದೂರ ಮತ್ತು ವಯಸ್ಸನ್ನು (1500 ಕೋಟಿ ವರ್ಷ) ಮೀರುವಷ್ಟು ಕಾಲ ಹುಳು ಸರಿದರೆ ಮತ್ತು ಸರಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ದಾರದ ಮುಕ್ತ ಕೊನೆಯನ್ನು ಹಿಂದೆ ಬಿಟ್ಟು ಮುಕ್ತ ಪಥಗಾಮಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಷ್ಟೆ!

ಇದು ಮಾನವನ ಭೌತಮಾನಕಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ನಿಜ. ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಅಮೂರ್ತ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಾತ್ರವೇ ಅಲ್ಲ, ಸತ್ಯವೂ ಹೌದು!

ಈ ವಾದವನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಲು ನಮ್ಮ ಎಣಿಕೆಗೆ ಎಟುಕುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ರಬ್ಬರ್ ದಾರದ ಉದ್ದ 4 ಸೆಂಮೀ ಇರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಇದರ ಮುಕ್ತ ಕೊನೆ ತಾತ್‌ಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟು ಇಡೀ ದಾರ 4 ಸೆಂಮೀ ವಿಸ್ತರಣೆ ಪಡೆಯಲಿ ಮತ್ತು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆ ಏಕಪ್ರಕಾರವಾಗಿರಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ 4 ಸೆಂಮೀ ಉದ್ದವಿದ್ದ ದಾರ 1 ಸೆಕೆಂಡ್ ಗತಿಸಿದಾಗ 8 ಸೆಂಮೀ, 2 ಸೆಕೆಂಡ್ ಗತಿಸಿದಾಗ 12 ಸೆಂಮೀ ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ವೃದ್ಧಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಹುಳುವಿನ ವೇಗ ಈ ಹಿಂದಿನಂತೆ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 1 ಸೆಂಮೀ ಇರಲಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಹುಳು –

1ನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ದಾರದ 1/4 ಅಂಶ ಮುಂದುವರಿದಿರುತ್ತದೆ.

2ನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ದಾರದ 1/8 ಅಂಶ ಮುಂದುವರಿದಿರುತ್ತದೆ.

3ನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ದಾರದ 1/12 ಅಂಶ ಮುಂದುವರಿದಿರುತ್ತದೆ. ಇತ್ಯಾದಿ.

ಇದೇ ಧಾಟಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿದು ಹುಳು nನೆಯ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಆಗಿನ ದಾರದ ಉದ್ದದ 1/4n ಅಂಶ ಗಮಿಸಿರುತ್ತದೆಂದು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ n ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಹುಳು ಗಮಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ದೂರ ಆಗಿನ ದಾರದ ಉದ್ದದ

(1/4) (1+1/2+1/3+1/4+………1/n) ಅಂಶ.

nನ ಬೆಲೆ 31 ಆದಾಗ ಆವರಣಗಳ ಒಳಗಿರುವ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 4ಕ್ಕಿಂತ ಅದೇ ಜಾಸ್ತಿ ಆಗುತ್ತದೆಂದು (ಸುಲಭವಾಗಿ?) ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವಿದು: ಹುಳು 31 ಸೆಕೆಂಡ್ ಕಾಲ ಮತ್ತು 124 ಸೆಂಮೀ ದೂರ ಸಿದಾಗ ದಾರದ ಮುಕ್ತ ಕೊನೆಯನ್ನು ದಾಟಿರುತ್ತದೆ!

ನ್ಯೂ ಕೆಲಿಡೋನಿಯಾದ (ಅಮೆರಿಕ) ಡೆನಿಸ್ ವಿಲ್‌ಕ್ವಿನ್ ಎಂಬಾತ ಮೇಲಿನ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕೃತ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕರ್ತೃ. ಡಿಸೆಂಬರ್ 1972ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಮಾರ್ಚ್‌ರ ‘ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಅಮೆರಿಕನ್’ ಮಾಸ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗಾರ್ಡಿನರ್ ಇದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಗಣಿತವನ್ನು ಕಡೆಗಣಿಸದಿರಿ. ಶುಷ್ಕವೆನ್ನದಿರಿ, ಆನಂದನಾಶಕ ಎಂದು ಹೀಗಳೆಯದಿರಿ. ವಿಶ್ವ – ಅಲಿಬಾನನ ಗವಿಯನ್ನು ತೆರೆದು ಒಳಗಿನ ಅನರ್ಘ್ಯ ರತ್ನಗಿಟ್ಟಿಸಲು ಇರುವ ಸಿಸೇಮೆತರ – ಬೀಜಮಂತ್ರವೇ ಗಣಿತ! ಇದರ ಮಹಿಮೆಯೋ ಅಗಣಿತ, ಅಗುಣಿತ ಮತ್ತು ಸದಾ ಅನುರಣಿತ.

(1980)