ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಉಪಾಧ್ಯಾಯರಿಗೂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ನುಂಗಲಾರದ, ಆದರೂ ನುಂಗಲೇಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ಅಂಕಗಣಿತ ವಿಧಿಗಳು (rules) ಮತ್ತು ಪರಿಕರ್ಮಗಳು (operations) ಎದುರಾಗುತ್ತವೆ. ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳಿಗೆ ನಿಷ್ಕೃಷ್ಟ ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು (proofs) ಒದಗಿಸುವುದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಅಗ್ರಾಹ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ ಇಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಎರಡು ಸುಪರಿಚಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ.

– x – = + ಏಕಾಗಬೇಕು?

ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೂ ಉರುಹೊಡೆಯುವ ನಾಲ್ಕು ಚಿಹ್ನಾ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿವೆ :

+ x + = +

+ x – = –

– x + = –

– x – = +

ಇವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಗಣಿತ ಪ್ರಧ್ಯಾಪಕ, ಎಸ್‌.ಆ. ಮಾಧುರಾಯರು ಒಂದು ಸುಲಭ ನಿದರ್ಶನ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ:

ಒಬ್ಬ ಅಂಗಡಿಕಾರನ ದಿನವಹಿ ಸರಾಸರಿ ಲಾಭ ರೂ 5 ಆಗಿರಲಿ. ಆತ ತನ್ನ ಅಂಗಡಿಯನ್ನು 7 ದಿನ ತೆರೆದಿರಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಆತ ಗಳಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ಲಾಭ:

ರೂ 5 x 7 ದಿನ = ರೂ 35

ಅಂದರೆ + 5 x + 7 = +35

ಅಂದರೆ + x + = +

ಆತ 7 ದಿನವೂ ಅಂಗಡಿ ಬಂದ್ ಮಾಡಿದ್ದರೆ ಆತನಿಗೆ ಈ ಲಾಭ ಗಳಿಕೆಯಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ ರೂ 35 ನಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತಿತ್ತು ಇದರ ಅರ್ಥ:

ರೂ 5 x 7 ದಿನ ಬಂದ್ = ರೂ 35 ನಷ್ಟ

ಅಂದರೆ + 5 x – 7 = – 35

ಅಂದರೆ + x – = –

ಹೀಗಲ್ಲದೇ ಆತ ದಿನವಹಿ ಸರಾಸರಿ ರೂ 5 ನಷ್ಟ ಅನುಭವಿಸಿದ್ದರೆ 7 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ರೂ 35 ಕಳೆದುಕೊಂಡಿರುತ್ತಿದ್ದ.

ರೂ 5 ನಷ್ಟ x 7 ದಿನ = ರೂ 35 ನಷ್ಟ

ಅಂದರೆ – 5 x +7 = – 35

ಅಂದರೆ – x + = –

ಹೇಗೂ ನಷ್ಟವಾಗುತ್ತಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಗಡಿಯನ್ನು 7 ದಿನವೂ ಬಂದ್ ಮಾಡೋಣವೆಂದು ಆತ ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಅಂಗಡಿ ತೆರೆದಿದ್ದರೆ ಆತನಿಗೆ ಆಗುತ್ತಿದ್ದ ಒಟ್ಟು ನಷ್ಟ ರೂ 35 ತಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ ರೂ 35 ಲಾಭವಾಗುತ್ತದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ ರೂ 5 ನಷ್ಟ x 7 ದಿನ ಬಂದ್ = ರೂ 35 (ಲಾಭ)

ಅಂದರೆ – 5 x – 7 = +35

ಅಂದರೆ – x – = +

ರಾಮಾನುಜನ್ ಪ್ರಶ್ನೆ

0/0 = ? 0/0 = 1 ಏಕಾಗಬಾರದು?

ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಉಪಾಧ್ಯಾಯರು ಭಾಗಾಹಾರ ಪರಿಕರ್ಮವನ್ನು ಎಳೆ ಎಳೆಯಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. “10 ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು 10 ಮಂದಿಗೆ ಸಮವಾಗಿ ಹಂಚಿದಾಗ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನಿಗೂ ದೊರೆಯುವ ಹಣ್ಣು 1. ಇದೇ ರೀತಿ 100 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು 50 ಜನರಿಗೆ ಸಮವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನಿಗೂ ದೊರೆಯುವ ವಸ್ತು 2. ಇಲ್ಲೆಲ್ಲ ಹಣ್ಣುಗಳ ಅಥವಾ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ. ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟುಸಲ ಇದೆ ಎಂಬುದರ ಶೋಧ ಇದು:

10/10 = 1, 100/50 = 2

ಸಾರಾಂಶವೇನು? ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಲಬ್ಧ 1.

ಆ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿದ್ದ ಗಣಿತ ಪ್ರಚಂಡ ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ (1887 – 1920) ತೀರ ಮುಗ್ಧತೆಯಿಂದ ಎತ್ತಿದ ಪ್ರಶ್ನೆ, “ಹಾಗಾದರೆ ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆ 1 ಸಲ ಇದೆಯೇ? ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಲಬ್ಧ?”

ಉಪಾಧ್ಯಾಯರು ಏನು ಉತ್ತರ ಹೇಳಿದರೆಂಬುದು ವರದಿಯಾಗಿಲ್ಲ.

0/0 = ? ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಇದನ್ನು 1 ಎಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸಿದರೇನು ತಪ್ಪು? ಸರಿ. ಅಂಗೀಕರಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ 0/0 = 1.

0x2 = 0 ಎಂದು ಪ್ರಚಲಿತ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಗೊತ್ತಿದೆ. ಉಭಯ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳನ್ನೂ 0ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ ಆಗ 0x2/0 = 0/0.

0/0 = 1 ಎಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶ, 1×2 = 1 ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 2 = 1. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ 3 = 1, 4 = 1 ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆಗ

1 = 2 = 3 = 4 = 5 = ………………

ಎಂದು ಅಸಂಬದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶ (ಪ್ರಲಾಪ) ಎದುರಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಸೌಧವೇ ಕುಸಿದು ಕುಕ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ! ಒಂದು ಎರಡಲ್ಲ, ಎರಡು ಒಂದಲ್ಲ. ಒಂದು ಒಂದೇ, ಎರಡು ಎರಡೇ. 0/0 = 1 ಅಂಗೀಕರಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಈ ಅಭಾಸ ಧಿಗ್ಗನೆ ಎದ್ದಿತು ಎಂದು ನಿಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಂತನೆ ಮಿಡಿಯುತ್ತದೆ.

ಹಾಗಾದರೆ 0/0 ಎಂಬ ಗಣಿತೋಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವೇನು?

ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಅಂಕಗಣಿತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಇದಕ್ಕೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಇದೊಂದು ಅನಿರ್ಧರಣೀಯ ಉಕ್ತಿ. ಜ್ಞಾನವಾಹಿನಿಯ ಅನುಸ್ಯೂತ ಗಮನದ ವೇಳೆ ಇಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶ ತಲೆದೋರಿದಾಗ ಪ್ರಚಲಿತ ವಿಧಿನಿಯಮಗಳು ಮುರಿದುಬಿದ್ದಾಗ ವಾಹಿನಿ ಹೊಸ ದಿಶೆಗೆ ಕವಲೊಡೆಯುವುದನ್ನು, ಅಂದರೆ ನೂತನ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗವೊಂದು ಉದಯಿಸುವುದನ್ನು, ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಅಧ್ಯಯನ ಹಾಗೂ ಚಿಂತನ ಮಾತ್ರ ಈ ನೂತನ ಶಾಖೆಯತ್ತ ನಮ್ಮನ್ನು ಒಯ್ಯಬಲ್ಲವು. ಹದಿನೇಳನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (calculus) ಉಗಮವಾದದ್ದು ಹೀಗೆ.

ಪುನಃ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ (ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಪೂರಕವಾದ) ಒಂದು ನಿದರ್ಶನ ನೋಡಿ:

a = b ಆಗಿರಲಿ, ಉಭಯ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳನ್ನೂ aಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಬಳಿಕ ಅವುಗಳಿಂದ b2ವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು.

a2 – b2 = ab – b2

ಇದನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿದಾಗ (a – b) (a + b) = b (a – b) ದೊರಯುತ್ತದೆ. ಉಭಯ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ (a – b)ಯನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಬಹುದು:

ಆಗ a + b = b

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ a = b ಎಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಇದು b + b = b ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 2b = 1 ಅಥವಾ 2 = 1

ನೀವನ್ನುತ್ತೀರಿ, “ಎರಡಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಮಯ. ಒಂದಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸಮ! ಅಂದ ಮೇಲೆ ಮೂರಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸಮ. ಒಂದು ಕೂಡ ಸಮ! ಎಲ್ಲವೂ ಏಕಾಂತರ್ಗತ. ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಾಕಾಷ್ಠೆ! ಗಣಿತದ ಮೂಲಕವೂ ಸಾಧು.”

“ತಾಳಿ ತಾಳಿ! ನಾವಿಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿರುವುದು ಮೂರ್ತ ವಾಸ್ತವ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಮೂರ್ತ ಕಲ್ಪನಾಲೋಕದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಎರಡು ಮರ, ಮೂರು ಜನ, ನಾಲ್ಕು ರಾಸು, ಐದು ಗಾಡಿ ಎಲ್ಲವೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಐಕ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.”

“ಹಾಗಾದರೆ ಇಲ್ಲೇನೋ ಮೋಸ ಅಥವಾ ಕಣ್ಕಟ್ಟು ನಡೆದಿದೆ.”

“ಅದೂ ಇಲ್ಲ. ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳ ವ್ಯವಹಾರ.”

“ಮತ್ತೆ ಹೇಗೆ ಈ ಅಭಾಸ ತಲೆಹಾಕಿತು?”

“ನೀವು ನಡೆದು ಬಂದ ದಾರಿಯನ್ನು ಇನ್ನೊಮ್ಮೆ ಪರಾಂಬರಿಸಬೇಕು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಿಸ್ತನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿರುವಿರೋ ನೋಡಿ.”

“ನೋಡಿದೆ. ಎಲ್ಲಿಯೂ ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿಲ್ಲ.”

“ಹೌದೇ! ನೀವು (a – b)ಯನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿರುವಿರಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ಹೆಜ್ಜೆಯ ಅರ್ಥವೇನು?”

“ಉಭಯ ಪಾಶ್ವಗಳನ್ನೂ (a – b)ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂದು.”

“ಈ (a – b)ಯ ಬೆಲೆ ಏನು? ಆರಂಭದ ಹೆಜ್ಜೆ ನೋಡಿ.”

“ಸೊನ್ನೆ.”

“ಹಾಗೆ ಬನ್ನಿ. ಉಭಯ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳನ್ನೂ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಅಥವಾ

a + b = b x (a – b) / (a – b) = b x o / o = b x 1 = b

ಎಂದು ಎರಡನೆಯ ಯೋಚನೆ ಇಲ್ಲದೇ ಬರೆದಿದ್ದೀರಿ. ಅಂದರೆ 0/0 = 1 ಎಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಇದರಿಂದ 2b = 1 ಅಥವಾ 2 = 1 ಎಂದು ಅಭ್ಯಾಸ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ತಲೆ ಎತ್ತಿದೆ!”

“ರಾಮಾನುಜನ್ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಎತ್ತಿದ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇದೇ ಅಲ್ಲವೇ?”

“ಶಾಬಾಸ್! ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಿಸ್ತಿನ ಒಳಗೆ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ನಿಷಿದ್ಧ. 0/0ಗೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ತದನಂತರದ ಹೆಜ್ಜೆ, ಅಂದರೆ a + b = b ಅಸಿಂಧು. ಈ ಅಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಮಾಡಿದುದರಿಂದ 2 = 1 ಎಂಬ ಅಸಂಬದ್ಧತೆ ಹಣುಕಿತು.”

ನೀವು ನಿರಾಳವಾಗಿ ಉಸಿರುಬಿಡತ್ತ. “ಸದ್ಯ ವ್ಯವಹಾರ ಪ್ರಪಂಚ ಬಚಾವ್!” ಎಂದು ಉದ್ಗರಿಸುತ್ತೀರಿ.

“ಹಾಗೆ ಬನ್ನಿ. ಉಭಯ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳನ್ನೂ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಅಥವಾ

a + b = b x (a – b)/ (a – b) = b x o / 0 = b x 1 = b

ಎಂದು ಎರಡನೆಯ ಯೋಚನೆ ಇಲ್ಲದೇ ಬರೆದಿದ್ದೀರಿ. ಅಂದರೆ 0/0 = 1 ಎಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಇದರಿಂದ 2b = b ಅಥವಾ 2 = 1 ಎಂದು ಅಭಾಸ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ತಲೆ ಎತ್ತಿದೆ!”

“ರಾಮಾನುಜನ್ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಎತ್ತಿದ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇದೇ ಅಲ್ಲವೇ?”

“ಶಾಭಾಸ್! ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಿಸ್ತಿನ ಒಳಗೆ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ನಿಷಿದ್ಧ. 0/0ಗೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ತದನಂತರದ ಹೆಜ್ಜೆ, ಅಂದರೆ a + b = b ಅಸಿಂಧು. ಈ ಅಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಮಾಡಿದುದರಿಂದ 2 = 1 ಎಂಬ ಅಸಂಬದ್ಧತೆ ಹಣುಕಿತು.”

ನೀವು ನಿರಾಳವಾಗಿ ಉಸಿರುಬಿಡುತ್ತ. “ಸದ್ಯ ವ್ಯವಹಾರ ಪ್ರಪಂಚ ಬಚಾವ್!” ಎಂದು ಉದ್ಗರಿಸುತ್ತೀರಿ.

(1988).