ಗುಣಾಕಾರವೇ? ಗಣನಕಾರಿಯೇ?

ಎಂಟನೆಯ ತರಗತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥೀ ಅಕ್ಷರಿಗೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆ ಹಾಕಲಾಯಿತು :

263 ಮಂದಿ 6 ಗಂಟೆ ಕೆಲಸಮಾಡಿ ರೂ. 926.25 ಕೂಲಿ ಪಡೆದರೆ ಇದೇ ದರದಲ್ಲಿ 432 ಮಂದಿ 7 ಗಂಟೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ ಎಷ್ಟು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ?

ಆಕೆ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೋಕ್ತಿ ಬರೆದಳು :

926.25 x 7 x 432 / 236 x 6

ಬಳಿಕ ಕಿಸೆ ಗಣನಕಾರಿ (pocket calculator) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಗುಂಡಿಗಳನ್ನು ಮೃದುವಾಗಿ ಒತ್ತಿದಳು. ಕ್ಷಣಾರ್ಧದಲ್ಲೇ ರೂ 1890 ಎಂದು ಉತ್ತರ ನೀಡಿದಳು.

“ಏನು ಮಾಡಿದೆ ಹೇಳು.”

“ಮೊದಲು ಕ್ರಮವಿಧಿ (programme) ಬರೆದೆ. ಬಳಿಕ ಅದನ್ನು ಗಣನಕಾರಿಗೆ ಊಡಿದೆ (fed). ಉತ್ತರ ದೊರೆಯಿತು.”

ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಿಧಿ ಎಂದರೆ ಮೇಲೆ ಬರೆದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೋಕ್ತಿ – ಇಂಥಿಂಥ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇಂಥಿಂಥ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಇಂಥಿಂಥ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸು ಎಂಬ ವಿಧೇಯಕ. ಊಡಿಕೆ ಎಂದರೆ ಈ ವಿಧೇಯಕಾನುಸಾರ ಗಣನಕಾರಿಯ ಗುಂಡಿಗಳನ್ನು ಒತ್ತುವ ಕ್ರಿಯೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಾದ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಹಾರ, ಮತ್ತು ಹಳಬರು ಭಾವಿಸಿರುವಂತೆ ಬದುಕಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾದ ಮಗ್ಗಿ. ಅಕ್ಷರಿಯ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಜೀವಂತ ಮಿದುಳಿನಿಂದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಗಣನಕಾರಿಗೆ ವರ್ಗಗೊಂಡಿದ್ದುವು. ಸಲಕರಣೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಅತಿ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದಾಗಿ ಆಧುನಿಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸೃಷ್ಟ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆ ಒದಗಿಸುವ ಆನಂದದಿಂದ ವಂಚಿತರಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರಂದು ಅನೇಕ ಅಧ್ಯಾಪಕರು ಕಳವಳ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಗಣಕಗಳು (microcomputers) ಈಚೆಗೆ (2002) ನಮ್ಮ ದೇಶದ ಪ್ರಮುಖ ನಗರಗಳಲ್ಲಿಯ ಶ್ರೀಮಂತ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿವೆ. ಆದರೆ ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ನಮ್ಮಲ್ಲಿಯ ಕೈವಾರ. ಕೋನಮಾಪಕ. ಮೀಟರ್ ಪಟ್ಟಿ ಮುಂತಾದವುಗಳಂತೆ ಈಗಾಗಲೇ ಶಿಕ್ಷಣದ ಅನಿವಾರ್ಯ ಸಾಧನಗಳಾಗಿವೆ. ಅಲ್ಲಿಯೂ ಸಲಕರಣೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಅತಿ ಅವಲಂಬನೆ ಹೇಗೆ ಚಿಂತನವಿಧಾನವನ್ನೇ ಬದಲು ಮಾಡಿಬಿಟ್ಟಿದೆ (ಉತ್ತಮೀಕರಣದತ್ತ ಅಲ್ಲ) ಎಂಬುದನ್ನು ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಜೂಡಿತ್ ಹಿಕ್ಸ್ ಎಂಬಾಕೆ Micromathಎಂಬ ತ್ರೇಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ವರದಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ (1986).

ಜೂಡಿತ್ ಹಿಕ್ಸ್ ಉವಾದ

ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮಗಣಕ ಒದಗಿಸುವ ಅದ್ಭುತ ಸೌಕರ್ಯಗಳಿಂದ ನಾವು ಸಂಮೋಹಿತರಾಗುವುದು ಸಹಜ. ಆದರೆ ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲೇ ಇದರ ಉಪಪರಿಣಾಮ ಕುರಿತಂತೆ ಕೂಡ ಒಂದಿಷ್ಟು ಚಿಂತನೆ ಹರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಐದನೆಯ ವರ್ಷದ, ಅಂದರೆ ಎಸ್‌ಎಸ್‌ಎಲ್‌ಸಿಗಿಂತ ಒಂದು ವರ್ಷ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ, ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಕೊಟ್ಟೆ:

ಒಂದು ದೇಶದ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ 3 ಪೈಸಾ ಮತ್ತು 7 ಪೈಸಾ ಎಂಬ ಎರಡು ಬಗೆಯ ನಾಣ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಚಲಾವಣೆಯಲ್ಲಿರತಕ್ಕದ್ದು ಚಿಲ್ಲರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವುದು ಕಾನೂನು ಬಾಹಿರ. ಹಾಗಾದರೆ ಪಾವತಿ ಮಾಡಲಾಗದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೊಬಲಗು ಎಷ್ಟು?

“ಗಣಕವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದೇ?” ಎಂದು ಇಬ್ಬರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕೇಳಿದರು.

“ಧಾರಾಳವಾಗಿ” ಎಂದೆ.

ಅವರು ಯುಕ್ತಕ್ರಮವಿಧಿ ಬರೆದು ಗಣಕಕ್ಕೆ ಊಡಿ ಸಾಧ್ಯ ಮೊತ್ತಗಳ ಎಲ್ಲ ಜೋಡಣೆಗಳನ್ನೂ ಮುದ್ರಿಸುವಂತೆ ವಿಧಿಸಿ ಉತ್ತರ ಪಡೆದರು. ಅದು 11, ಏಕೆಂದರೆ

12 = 3 x 4, 13 = 7 + 2 x 3,

14 = 2 x 7, 15 = 3 x 5,

16 = 3 x 3 + 7, 17 = 3 + 2 x 7, ಇತ್ಯಾದಿ.

ನಾನು ಕೇಳಿದೆ, “ಇದೇ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ ಎನ್ನುವುದಕ್ಕೆ ಆಧಾರವೇನು?”

“ಗಣಕ ಅಂಕಿಸದಿದ್ದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೇ. ಅಲ್ಲದೇ ಅದು ಮುಂದಿನ 21 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ಶೋಧಿಸಿತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹಿರಿದಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.”

ಇತರ ಜೋಡಣೆಗಳಿಗೆ ಕೂಡ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯುವಂತೆ ಹೇಳಿದೆ. ಇದನ್ನೂ ಅವರು ಮಾಡಿದರು. ಮುಂದೆ ನಡೆದ ಮಾತುಕತೆ ಹೀಗಿತ್ತು :

ನಾನು, “ಗರಿಷ್ಠ ಮೊಬಲಗಿಗೂ ನಾಣ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ ಏನು ಸಂಬಂಧವಿದೆ?”

ಅವರು, “ನಿಮಗೇನು ತಿಳಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ?”

ನಾನು, “ಯಾವುವೇ ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಒಡನೆ ನೀವು ಅವುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುವ ಗರಿಷ್ಠ ಮೊಬಲಗು ಎಷ್ಟೆಂದು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?”

ಅವರು, “ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದಿರುವ ಕ್ರಮವಿಧಿಯಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.” ನಾನು, “ಸರಿ. ಆದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀವು ಶೋಧಿಸಬೇಕೆಂದು ನನ್ನ ಆಶಯ.”

ಅವರು, “ಅದಕ್ಕೇನೂ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.”

ನಾನು, “ಅದನ್ನು ನೀವು ಶೋಧಿಸಿದ್ದಾದರೆ ಆಗ 3, 4, 5 ಅಥವಾ ಎಷ್ಟೇ ವಿಭಿನ್ನ ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ ಕೂಡ ನೀವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಬಲ್ಲಿರಿ.”

ಅವರು, “ಅವಶ್ಯವಿಲ್ಲ ಆಗ ನಾವು ಕ್ರಮವಿಧಿಯನ್ನು ಯುಕ್ತವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.”

ಹಿಕ್ಸ್ ಬರೆದಿರುವ ಸಮಾರೋಪವಾಕ್ಯ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ: “ಗಣಿತದ ಸ್ವಾರಸ್ಯವಿರುವುದೇ ಸಾಧನೆಯ (proof) ಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಿಧಿಲೇಖನವೆಂಬ (programme writing) ಈ ಬೈಜಿಕ ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಸಾಧನೆಯ ಪಾತ್ರವೇ ಇಲ್ಲವಲ್ಲ!”

ಮರಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ಭರಾಟೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಡಿನ ಒಟ್ಟಂದ ಸವಿಯದಂತೆ, ಬಿಡಿಗಳ ಗಡಿಬಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಇಡಿಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಂತೆ ಆಗಿದೆ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ.

ಹಿಕ್ಸ್ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ

ಯಾವುದೇ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ, ಅಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಪವಾದವೂ ಇರದಂತೆ, ಸಾಧುವೆಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದಕ್ಕೆ ಗಣಿತ ಸಾಧನೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅನುಭವಜನ್ಮ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಸೂತ್ರ ಹಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಯಿತೆಂಬ ಕಾರಣದಿಂದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅಷ್ಟು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಲಾಯಿತೆಂದೂ ಆ ಪರಿಮಿತಿಯೊಳಗೆ ಅದು ಸುಳ್ಳಾಗಲಿಲ್ಲವೆಂದೂ ಇದರಿಂದ ವೇದ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾತಕ ಓದಿ ಅಥವಾ ಅಂಗೈ ನೋಡಿ ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿಯುವ ಚಮತ್ಕಾರವನ್ನು ಅವಿಜ್ಞಾನ ಎನ್ನುವುದು ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿಯೇ : ಸ್ಥಾಲೀಪುಲಾಕನ್ಯಾಯ ಗಣಿತಸಾಧನೆ ಅಲ್ಲ!

ಹಿಕ್ಸ್ ಕೊಟ್ಟ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಣಕದ ನೆರವಿನಿಂದ ಪಡೆದ ಉತ್ತರವೇನೆಂದು ನೋಡೋಣ. ಅಲಂಕಾರಗಳನ್ನು ಕಳಚಿಹಾಕಿದಾಗ ಆ ಪ್ರಶ್ನೆ ಗಣಿತರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ : 3 ಮತ್ತು 7ರ ಗುಣಿತಗಳ (multiples) ಮೊತ್ತವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಇಲ್ಲಿಯ ವ್ಯವಹಾರ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಳ ಜೊತೆ ಮಾತ್ರ ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗದ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1, 2, 4, 5, 8, 11 ಮಾತ್ರ ನಾವೂ 11ರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 3 ಮತ್ತು 7ರ ಗುಣಿತಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 319. ಮೊದಲು ಇದು 3ರ ಅಥವಾ 7ರ ಗುಣಿತವೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು. ಆಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರಶ್ನೆ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಮುಗಿಯುತ್ತದೆ. ಆಗದಾಗ 319ರಿಂದ 3 ಅಥವಾ 7ನ್ನು ಕ್ರಮಶಃ ಕಳೆಯುತ್ತ (ಕಡಿಮೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಸುಲಭ) 7ರ ಅಥವಾ 3ರ ಗುಣಿತ ದೊರೆಯುವವರೆಗೆ ಸಾಗಬೇಕು

319, 316, 313, 310, 307, 304, 301
ಇಲ್ಲಿ 301 = 43 x 7
ಅಥವಾ 319, 312
ಇಲ್ಲಿ 312 = 104 x 3
ಆದ್ದರಿಂದ 319 = 43 x 7 + 6 x 3
ಅಥವಾ 319 = 104 x 3 + 7

ಹೀಗೆ ಗಣಕವಾಗಲಿ ನಾವಾಗಲಿ ತಾಳೆನೋಡುವ ಪರಿಮಿತಿಯೊಳಗೆ 11ಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ 3 ಮತ್ತು 7ರ ಗುಣಿತಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಅಳವಡುತ್ತವೆ.

ತಾಳೆ ನೋಡುವ ಈ ವಿಧಾನ, ಸಾಕ್ಷಾತ್ ಗಣಕವೇ ಇದನ್ನು ಅತಿ ವೇಗದಿಂದ ನಾವು ಊಹಿಸಲಾಗದಂಥ ಬೃಹತ್ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರೆಗೂ ನಿರ್ವಹಿಸಿ ತೋರಿದರೂ, ಗಣಿತ ಸಾಧನೆಯ ಅಂತಸ್ತು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಹಿಕ್ಸ್ ತಮ್ಮ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಎತ್ತಿರುವ ಕಳವಳವಾದರೂ ಇದೇ. ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶಪ್ರಧಾನವಾದ ಈ ಯುಗದಲ್ಲಿ ನಿಖರ ಗಣಿತ ಸಾಧನೆಯ ಅಗತ್ಯವೇನು? ಯಶಸ್ಸೊಂದೇ ಯಶಸ್ಸಿನ ಮಾನಕ. ಅದರೆಡೆಗೆ ಸಾಗಿದ ಜಾಡಲ್ಲ. ಎಂಬುದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ನಿಲವು.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿಯಮದ ಶೋಧನೆ

ಈ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ ಇತರ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾಯುಗ್ಮಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

5 ಮತ್ತು 9ರ ಗುಣಿತಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? 3 ಮತ್ತು 7 ಕುರಿತು ಈ ಮೇಲೆ ಸಾಗಿದ ಜಾಡಿನಲ್ಲಿಯೇ ಮುಂದುವರಿದರೆ ಅದು 31 ಎಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. 15, 19 ಸಂಖ್ಯಾಯುಗ್ಮ ಕುರಿತಂತೆ? ಅದು 251. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೌಲ್ಯ ಏರಿದಂತೆ ನಾವು ಸಾಗುವ ಜಾಡು ಬಲು ಕಡಿದಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೇ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಿಹಿತವಾಗಿರುವ ಪುನರಾವರ್ತನಶೀಲತೆ ಅಥವಾ ಚರ್ವಿತ ವರ್ಚಣತೆ ನಮ್ಮ ಸಹನೆಯನ್ನೇ ಕಲಕಿಬಿಡುತ್ತದೆ. ಇಂಥಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿಯಮದ ಶೋಧನೆಯೊಂದೇ ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ಮಾರ್ಗ.

2ರಿಂದ 10ರ ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಗತಯುಗ್ಮ ಕುರಿತಂತೆ ದೊರೆಯುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದೆ. ಸಂಗತ ಯುಗ್ಮ ಎಂದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿವೆ (ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಿಲ್ಲ) ಎಂದರ್ಥ: 4, 9 ಅಥವಾ 6, 35 ಸಂಗತ ಯುಗ್ಮಗಳು; ಆದರೆ 7, 49 ಅಥವಾ 8, 20 ಸಂಗತಯುಗ್ಮಗಳಲ್ಲ. ಅಸಂಗತ ಯುಗ್ಮದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಜಿಗಿದಿರುತ್ತದೆ. ಇಂಥವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಕ್ಷತ್ರ (*) ಗುರುತುಹಾಕಿ ಕಾಣಿಸಿದೆ.

2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 * 1 * 3 * 5 * 7 *
3 1 * 5 7 * 11 13 * 17
4 * 5 * 11 * 17 * 23 *
5 3 7 11 * 19 23 27 31 *
6 * * * 19 * 29 * * *
7 5 11 17 23 29 * 41 47 53
8 * 13 * 27 * 41 * 55 *
9 7 * 23 31 * 47 55 * 71
10 * 17 * * * 53 * 71 *

ಇದನ್ನು ಓದುವ ಕ್ರಮ : 6, 7 ಯುಗ್ಮ ಕುರಿತ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಅದು ನೀಟಿ ಸಂಖ್ಯೆ 6ರ ಎದುರು ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ 7ರ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆ. 29. ಹಾಗಾದರೆ 10, 9 ಯುಗ್ಮ ಕುರಿತ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು?

55 ಎಂಬ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವ ಯುಗ್ಮವನ್ನು ಕುರಿತವಾಗಿದೆ? ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ 55ನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಅದು ಯಾವ ಅಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಳಗೆ ಮತ್ತು ನೀಟಸಂಖ್ಯೆಯ ಎದುರು ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕು. ಉತ್ತರ 9, 8 ಅಥವಾ 8, 9, ಹಾಗಾದರೆ ಕ್ರಮ (9, 8 ಅಥವಾ 8. 9) ಹೇಗೆಯೇ ಇದ್ದರೂ ದೊರೆಯುವ ಉತ್ತರ ಒಂದೇ ಜರಾಸಂಧವಧೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಇಲ್ಲಿ ಸಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ!

ಬೈಜಿಕ ಸೂತ್ರದ ನಿರೂಪಣೆ

ಇಷ್ಟು ವಿವರಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಣತಿ ಗಳಿಸಿದ ಬಳಿಕ ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಉಕ್ತವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬಹುದಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಶೋಧಿಸಲು ಯತ್ನಿಸೋಣ.

  1. ಅಡ್ಡ ಅಥವಾ ನೀಟ ಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ 2ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ ಆ ಅಡ್ಡ ಅಥವಾ ನೀಟ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.
  2. ಅಡ್ಡ ಅಥವಾ ನೀಟಸಾಲಿನ ಎರಡು ಕ್ರಮಾಗತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಆ ಅಡ್ಡ ಅಥವಾ ನೀಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ 1ನ್ನು ಕಳೆದಷ್ಟು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಡ್ಡಸಂಖ್ಯೆ 9ರ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ 9 – 2 = 7 ಮತ್ತು ಈ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಎರಡು ಕ್ರಮಾಗತ ಸಂಕ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 9 – 1 = 8. ಅಂತೆಯೇ ನೀಟಸಂಖ್ಯೆ 7ರ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ 7 – 2 = 5 ಮತ್ತು ಈ ನೀಟಸಾಲಿನ ಎರಡು ಕ್ರಮಾಗತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 7 – 1 = 6. ಈ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಗ್ರಹಿಸಿದವರಿಗೆ ಇಂದಿನ ಪ್ರೀಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೊಡುವ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳ (arithmetic progressions) ಪರಿಚಯವಿದ್ದರೆ ಬೈಜಿಕ ಸೂತ್ರದ ನಿರೂಪಣೆ ತೀರ ಸುಲಭದ ಹೆಜ್ಜೆ:

ಪರಸ್ಪರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವ a ಮತ್ತು b ಎಂಬ ಧನ ಪೂಣಾಂಕ ಯುಗ್ಮದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ c ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ.

ಆಗ c = ab –a – b ಉದಾಹರಣೆಗೆ –

a = 3, b = 7 ಆದಾಗ (ಹಿಕ್ಸ್ ಕೊಟ್ಟ ಪ್ರಶ್ನೆ) c = 3 x 7 – 3 – 7 = 11
a = 5, b = 9 ಆದಾಗ c = 31
a = 6, b = 7 ಆದಾಗ c = 29
a = 101, b = 107 ಆದಾಗ c = 10599

ಈ ಅನುಭವಜನ್ಯಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ನಿಖರ ಗಣಿತಸಾಧನೆ ಒದಗಿಸುವುದು ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ಮೀರಿದ ವಿಷಯ. ಅದರ ಶೋಧನೆ ಓದುಗರ ಸಂತೋಷವಾಗಲಿ! “ಚಿಲ್ಲರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವುದು ಕಾನೂನುಬಾಹಿರ” ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನಿಂದಾಗಿ ಇಷ್ಟೆಲ್ಲ ‘ಅವಾಂತರ’ ತಲೆದೋರಿತು. ಈ ಷರತ್ತು ಇಲ್ಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯೇ ಉದ್ಭವಿಸಿರುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಆಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ದತ್ತಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಿತಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5, 7, 23 ಮತ್ತು 9, 10, 71:

23 = 4 x 7 – 5
71 = 9 x 9 – 10

ಈಗ ಹಿಕ್ಸ್ ಎತ್ತಿರುವ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು, ಐದು ಅಥವಾ ಎಷ್ಟೇ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೋಧನೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆ (7,9; 13; 11, 17: 17,21; 19, 47 – ) ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನೂ ಕುರಿತಂತೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಈ ಪರಿಹಾರ ಶೋಧನೆಯ ಸುಖ ನಿಮ್ಮದಾಗಲೆಂಬ ಹಾರೈಕೆಯಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ಬರೆದಿಲ್ಲ.

ಇಲ್ಲಿಯ ತನಕ ನೀವು ಸಹನೆ ಕೆಡದೆ ಭಾವನೆಗಳ ಬೆನ್ನೇರಿ ಬಂದಿರುವುದಾದಲ್ಲಿ ಹಿಕ್ಸ್ ಎತ್ತಿರುವ ಸಂದೇಹ ಎಷ್ಟು ಗಂಭೀರವಾದದ್ದು ಮತ್ತು ಸಾಮಯಿಕವಾದದ್ದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಬಲ್ಲಿರಿ. ಹೀಗಲ್ಲದೆ, “ಗಣಿತದ ಅಂಕುಡೊಂಕು ನಮಗಲ್ಲ, ಗುಂಡಿ ಒತ್ತಿ ಫಲಿತಾಂಶ ಪಡೆದರೆ ಮುಗಿದು ಹೋಯಿತು” ಎಂಬ ಕೊಂಕುನುಡಿ ನಿಮ್ಮ ನಿಲವಾದರೆ ಅಷ್ಟರಮಟ್ಟಿಗೆ ಗಣಿತಾನಂದದಿಂದ ನೀವು ವಂಚಿತರಾಗಿರುತ್ತೀರಿ. ಸಕಲ ಸೃಜನಶೀಲ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಫಲ ಆನಂದ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬಾರದು.

ತಳಭದ್ರವಿಲ್ಲದಿರೆ ಪಥಗಮನ ಕಂಪಿಪುದು
ಗಳ ಶುದ್ಧವಿಲ್ಲದಿರೆ ನಾದಗತಿ ಮುಗುವುದು
ಒಳ ಶುಚಿಯು ಮಲಿನವಾದರೆ ಶಿಲು ಮಸಳುವುದು
ತಳಗಳಒಳ ಮಿಲನವೆ ಸಂತೃಪ್ತಿ ಅತ್ರಿಸೂನು
(2002).