ನಡು ಹಗಲ ಧಗೆ, ಒಡಲೊಳಗೆ ಕುದಿವ ಹೊಗೆ – ನೀರಡಕೆ ದೀರ್ಘಶೋಧನೆಯ ವೇಳೆ ಎದುರಾಗಿದ ನೀರಸೆಲೆ – ಮೋಹಿನೀಕರಗಳಲ್ಲಿಯ ಅಮೃತಕುಂಭವೋ ಎಂಬಂತೆ ಹಾದಿಗೆ ಮಿಂಚಿನ ವೇಗದಿಂದ ಚಿಮ್ಮಿದ್ದಾನೆ ಆ ಪುಷ್ಕರಣಿ ತಡಿಗೆ ಇನ್ನೇನು ಬೊಗಸೆ ನೀರು ಮೊಗಕ್ಕೆ ಮೊಗೆದು ಹಾಯಾಗಿ ನೀರು ಹೀರಿ….

ಅಷ್ಟರಲ್ಲೇ ಅಶರೀರವಾಣಿ ಮೊಳಗುತ್ತದೆ, “ಇದು ನನ್ನ ಕೆರೆ, ಇದರ ನೀರು ಕುಡಿವ ಮೊದಲು ನೀನು ನಾನು ಕೇಳುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಹೇಳತಕ್ಕದ್ದು. ಈ ಆಜ್ಞಎಯನ್ನು ಪಾಲಿಸದೆ ನೀರು ಹಿರಿದರೆ ನೀನು ಸತ್ತು ಕೊರಡಾಗಿ ಕಡೆಯುವುದು ಖರೆ.”

ಹಶು ತೃಷಾ ಪೀಡಿತನಿಗೆ ವಿಧಿನಿಯಮ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಅರ್ಥವಾಗುವುವೇ? ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿ ನೀರು ಕುಡಿದ, ಒಡನೆ ಮಡಿದ. ಸಹದೇವನೇಕೆ ಇನ್ನೂ ಮರಳಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹುಡುಕಲು ಬಂದ ನಕುಲನಿಗೂ ಅದೇ ಗತಿ. ಮುಂದೆ ಅರ್ಜುನ ಮತ್ತು ಭೀಮ ಕೂಡ ಅಸುನೀಗಿ ಬಿದ್ದರು. ಉಳಿದಾತ ಪಾಂಡವಪ್ರಥಮ ಮಾತ್ರ ಇವನೂ ಬೆಂದು ಬಸವಳಿದು ಅತ್ತ ಸಾಗಿದಾಗ ಕಂಡ ದೃಶ್ಯ ಘೋರವಾಗಿತ್ತು: ಅಮೃತದ ನೆಲೆಯಲ್ಲೇ ಅಮೃತಪುತ್ರರ ಕೊಲೆ!

ಅದೇ ಅಶರೀರವಾಣಿ, “ನನ್ನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ಕೊಡದೇ ನೀರು ಕುಡಿದರೆ ನೀನೂ ನಿನ್ನ ತಮ್ಮಂದಿರ ಹಾದಿ ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದೀತು.”

ಪರಾಕ್ರಮಿ ಅನುಜರ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮರಣ. ದೇಹದೊಳಗಿನ ಅದಮ್ಯದಾಹ ಮೇಲಾಗಿ ಅಶರೀರವಾಣಿಯ ಕಠೋರ ನಿರ್ಬಂಧ. ಯಾವ ಕಾರಣಕ್ಕೂ ಎಂದೂ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಧರ್ಮವಿಮುಖನಾಗದ ಯುಧಿಷ್ಠಿರ ಜಲಸ್ಪರ್ಶ ಮಾಡಲಿಲ್ಲ ಅಶರೀರವಾಣಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸಮರ್ಪಕ ಉತ್ತರ ನೀಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಆ ಅಗೋಚರ ಅಶರೀರ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ವರವಾಗಿ ತಮ್ಮಂದಿರನ್ನು ಪಡೆದ.

ಮಹಾಭಾರತದಲ್ಲಿ ಯಕ್ಷಪ್ರಶ್ನೆ ಎಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಈ ಪ್ರಕರಣ ಮಾನವ ವರ್ತನೆಯ ಸಕಲ ಮುಖಗಳಿಗೂ ಬರೆದಿರುವ ಒಂದು ಸುಂದರ ಭಾಷ್ಯ.

ಇದರಲ್ಲಿ ಬರುವ ಸೂತ್ರಪ್ರಶ್ನೆ. “ಕಿಮಾಶ್ಚರ್ಯಂ?” (ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಆಶ್ಚರ್ಯ ಯಾವುದು?) ಧರ್ಮರಾಯ ನೀಡಿದ ಉತ್ತರ:

ಅಹನ್ಯಹನಿ ಭೂತಾನಿ ಗಚ್ಛನ್ತೀಹ ಯಮಾಲಯಮ್
ಶೇಷಾ ಸ್ಥಾವರಮಿಚ್ಛನ್ತಿ ಕಿಮಾಶ್ಚರ್ಯಮತಃ ಪರಮ್

“ಪ್ರಾಣಿಗಳು ಪ್ರತಿದಿನವೂ ಯಮಲೋಕಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತಲೇ ಇವೆ. ಆದರೂ ಉಳಿದ ಜನರು ತಾವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಇರತಕ್ಕವರೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾದುದು ಏನಿದೆ?” (‘ಭಾರತದರ್ಶನ’ದ ಪ್ರಕಟಣೆ ಶ್ರೀಮನ್ಮಹಾಭಾರತ, ಸಂಪುಟ 8)

ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸರಿ, ತನ್ನ ಮರಣ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ದಿನ ಘಟಿಸುವುದು ಶತಸ್ಸಿದ್ಧ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿ ಗೊತ್ತಿದ್ದರೂ ಆತ ತಾನು ಚಿರಂಜೀವಿ ಎಂಬ ತೆರದಲ್ಲಿ (ಭ್ರಮೆಯಲ್ಲಿ) ಸತತ ಕಾರ್ಯನಿರತನಾಗಿರುವುದರ ರರಹಸ್ಯ ಏನು? ನಿಸರ್ಗ (industriousness) ಎಂಬ ಗುಣಗಳನ್ನು ಗರ್ಭಿಸಿಟ್ಟಿರುವುದೇ ಇದರ ಕಾರಣ – ನಿನ್ನಿನ ಕನಸು ಹೇಗೆ ಇಂದಿನ ನನಸೋ ಹಾಗೆ ಇಂದಿನ ಕನಸು ನಾಳಿನ ನನಸು ಎಂಬ ಭರವಸೆ. ಸಕಲ ಜ್ಞಾನವಿಜ್ಞಾನಾನುಶೀಲನೆಗಳ ಭದ್ರ ನೆಲೆಗಟ್ಟು ಈ ಆಶಾವಾದ.

* * *

ಪಿಯರೆ ಡ ಫರ್ಮಾ (Pierre de Fermat, 1601 – 65) ಒಬ್ಬ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಹವ್ಯಾಸೀ ಗಣಿತ ಸಂಶೋಧಕ – ಪರಿವ್ರಾಜಕ. ಅಲ್ಲಿಯೂ ಸಂಖ್ಯಾಲೋಕ ಇವನ ವಿಹಾರ ರಂಗ. ಎಲ್ಲ ಮುಂಚೂಣಿ ಸಂಶೋಧಕರಂತೆ ಇವನಿಗೂ ಅದೇ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆ ಎದುರಾಯಿತು: ತಾನು ಕ್ರಮಿಸಿ ಬಂದ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಎದ್ದ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರ ಇದೆ ಎಂದು ಅನ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಜಕ್ಕೂ ‘ಅದು’ (ಉತ್ತರ) ಇದೆಯೇ? ಸಾಧನೆ? ಸಾಧನೆ ದೊರೆಯುವ ತನಕ ‘ಅದು’ ಊಹೆ ಆಗಿಯೇ ತರ್ಕಸಮಂಜಸ ಊಹೆ ಎನ್ನೋಣ ಬೇಕಾದರೆಉಳಿದಿರುತ್ತದೆ. ಎಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ, ಆದರೂ ಎಷ್ಟೂ ದೂರ? ಈಶಾವಾಸ್ಯ ಉಪನಿಷತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಹೇಳಿರುವಂತೆ.

ತದೇಜತಿ ತನ್ನೈಜತಿ ತದ್ದೂರೇ ತದ್ವಂತಿಕೇ
ತದಂತರಸ್ಯ ಸರ್ವಸ್ಯ ತದು ಸರ್ವಸ್ಯಾಸ್ಯ ಬಾಹ್ಯತಃ

(ಅದು ಚಲಿಸುವುದು, ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ, ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲದರ ಒಳಗೆ ಇದೆ, ಅದೇ ಎಲ್ಲಕ್ಕೂ ಹೊರಗೆ ಇದೆ. ಅನು: ಸೋಮನಾಥಾನಂದ)

ಕೊಳವಿದೆ. ಹತ್ತಿರವೂ ಇದೆ. ದಾಹವಾಗಿದೆ. ಆದರೂ ನೀರು ಕುಡಿಯುವಂತಿಲ್ಲ! ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ದೂರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ನೀಡಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಕೊಲಳಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶ! ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಜ್ಞಾನ ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಯಕ್ಷ ಪ್ರಶ್ನೆಯೇ ಎಂದೇ ಪ್ರಸ್ತುತ ಲೇಖನದ ಶೀರ್ಷಿ ‘ಫರ್ಮಾ ಯಕ್ಷಪ್ರಶ್ನೆ’ ಫರ್ಮಾ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ (Fermat’ Last Theorem, FLT) ಕೊನೆಗೂ ಪರಿಹಾರ ಒದಗಿದುದರ ಸಂಕ್ಷೇಪ ಚಿತ್ರ.

* * *

ಇಸವಿ 1963. ಸ್ಥಳ ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್‌, ಹತ್ತರ ಹರೆಯದ ಯ್ಯಾಂಡ್ರೂ ವೈಲ್‌(1953) ತನ್ನ ಸರೀಕರ ನಡುವೆ ಒಬ್ಬ ಬಾಲ ಗಣಿತ ಪ್ರಚಂಡ. ಎಂದಿನಂತೆ ಗ್ರಂಥಾಲಯ ಹೊಕ್ಕ ಒಗಟುಗಳ ನೂತನ ಸಂಗ್ರಹವೇನಾದರೂ ಬಂದಿದೆಯೇ, ತನ್ನ ಸಹಜ ಗಣಿತದಾಹಕ್ಕೆ ತನಿ ಎರೆಯಬಲ್ಲ ನೀರಿನ ಕೊಳ ಕಾಣಬಹುದೇ ಎಂಬ ಕೂತುಹಲದಿಂದ. ಎರಿಕ್‌ಟೆಂಪಲ್‌ಬೆಲ್‌(1883 – 1968) ಎಂಬ ಶ್ರೇಷ್ಠಗಣಿತ ಚರಿತ್ರಕಾರ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಯೂ ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿಯೂ ಬರೆದಿದ್ದ The Last Theorem ಇವನ ಲಕ್ಷ್ಯಕ್ಕೆ ಬಂದಿತು. ಇದು ‘ಫರ್ಮಾ’ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ’ ಕುರಿತ ಕೃತಿ. ಹಾಗೆಂದರೇನು?

ಪೈಥಾಗೊರಸಸ್ಸಂಖ್ಯಾತ್ರಯಗಳು

A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಂತಿರುವಿರೆಂದು ಭಾವಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 1) ಅಲ್ಲಿಂದ ನೇರ ಗೆರೆ ಮೇಲೆ 3 ಹೆಜ್ಜೆ ನಡೆದು B ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪುವಿರಿ. Bಯಲ್ಲಿ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿ ನೇರ ಗೆರೆ ಮೇಲೆ ಹೆಜ್ಜೆ ನಡೆದು C ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರುವಿರಿ. ಈಗ C ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ಗೆರೆ ಮೇಲೆ A ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಡೆದು ಬನ್ನಿ ಕರಾರುವಕ್ಕಾಗಿ 5 ಹೆಜ್ಜೆಗಳು ಸಾಕು. ಹೆಚ್ಚು ಅಲ್ಲ, ಕಡಿಮೆ ಸಲ್ಲ.

01_401_VV-KUH

02_401_VV-KUH

ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಯೋಗ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸದಿದ್ದರೆ ಅಂದರೆ C ಯಿಂದ A ಗೆ ನಡೆದು ಬರುವಾಗ 5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಯಾ ಕಡಿಮೆ ಹೆಜ್ಜೆ ಇಡಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ ನೀವು ಈ ಆಟದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯೋ ಮುರಿದಿರುವಿರೆಂದೇ ಅರ್ಥ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಿಮ್ಮ ಹೆಜ್ಜೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಆಗಿರಬಹುದು. ಅಥವಾ ನೀವು ಮಟ್ಟಸ ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗ ಮಾಡಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಗೆಲುವು ಗಳಿಸಿದ ಬಳಿಕ ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದು ಇದೇ ತೆರನಾದ ಪ್ರಯೋಗ ನಡೆಸಲು ತಕ್ಕಷ್ಟು ಹುರುಪಿನಿಂದಲೇ ಮುಂದಾಗುವಿರಿ. Aಯಿಂದ Dಗೆ 4 ಹೆಜ್ಜೆ ನಡೆದು (ಚಿತ್ರ 2) ಅಲ್ಲಿ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿ ಮುಂದೆ 5 ಹೆಜ್ಜೆ ಇಟ್ಟು E ತಲುಪುವಿರಿ. Eಯಿಂದ Aಗೆ ಮರಳುವಾಗ ಇಟ್ಟ ಹೆಜ್ಜೆ ಎಣಿಸುವಿರು. ನಿಮ್ಮ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಪ್ರಕಾರ 6 ದೊರೆಯಬೇಕು. ಆದರೆ EA ಅಂತರ ಕೊಂಚ ಹಿಗ್ಗಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ: 6ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, 7ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ. ಪ್ರಯೋಗದ ಯಾವುದೇ ಷರತ್ತನ್ನು ನೀವು ಮುರಿದಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಘಟಿಸಿದ ಅಪರಾಧ ಇದಲ್ಲ. ನಿಜ ಸಂಗತಿ ಏನೆಂದರೆ ನಿಮ್ಮ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೇ ತಪ್ಪು!

ಮೊದಲನೆಯ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ 3, 4, 5 ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಜ. ಅಂದ ಮಾತ್ರ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಹೀಗೆಯೇ ಇರಬೇಕೆಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಿಮಗೇನು ಅಧಿಕಾರವಿದೆ?

ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ. ತ್ರಿಭುಜ ABCಯಲ್ಲಿ B ಕೋನ ಲಂಬಕೋನ. ತ್ರಿಭುಜ ADEಯಲ್ಲಿ D ಕೋನ ಲಂಬಕೋನ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇವು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜಗಳು. ಲಂಬಕೋನದ ಎದುರಿನ ಭುಜಕ್ಕೆ ವಿಕರ್ಣವೆಂದು (hypotenuse) ಹೆಸರು.

ತ್ರಿಭುಜ ABCಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಭುಜಗಳು ಮತ್ತು ವಿಕರ್ಣದ ದೀರ್ಘತೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ: 3, 4, 5. ತ್ರಿಭುಜ ADE ಯಲ್ಲಿ ಹೀಗಲ್ಲ: 4, 5, 6 – 7ರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆ. ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ ನೀವೀಗ ಈ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳಬಲ್ಲಿರಿ: ಭುಜಗಳ ಹಾಗೂ ವಿಕರ್ಣದ ಉದ್ದಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುವಾಗ ಇತರ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜಗಳಿವೆಯೇ?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ಹುಡುಕಲು 3, 4, 5ರ ನಡುವೆ ಏನಾದರೂ ವಿಶೇಷ ಸಂಬಂಧ ಇದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ:

3 x 3 = 32 = 9. 4 x 4 = 42 = 16. 5 x 5 = 52 = 25
ಈಗ 9 + 16 = 25

4, 5, 6 ನಡುವೆ ಇಂಥ ಸಂಬಂಧ ಇದೆಯೇ? ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ನೋಡಿ:
42 + 52 = 16 + 25 = 41
62 = 36

41 ಮತ್ತು 36 ಇವೆರಡು ಸಮ ಅಲ್ಲ!

ಹಾಗಾದರೆ 3, 4, 5 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವಂತೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿರುವ ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ರಯಗಳುಂಟೇ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆ ‌ಕ್ರಿಸ್ತಪೂರ್ವ 800 ರಿಂದ 500ರಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತವಿದರನ್ನು ಕಾಡಿತ್ತು. ಅವರು ಇದಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದರು. ಆ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ರಚಿತವಾದ ಶುಲ್ವಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿತವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ರಯಗಳಿವು:

3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 8, 15, 17; 12, 35, 37

ಇಲ್ಲಿಯ ಒಂದೊಂದು ತ್ರಯದಲ್ಲಿಯೂ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಮೂರನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿದೆ.

ಕ್ರಿಸ್ತಪೂರ್ವ ಸುಮಾರು 582 ರಿಂದ 497ರ ತನಕ ಬಾಳಿದ್ದ ಗ್ರೀಕ್‌ಗಣಿತವಿದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್‌ಕೂಡ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಎದುರಿಸಿದ್ದ. “ಯಾವುದೇ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ಚೌಕದ ಸಲೆ (area) ಉಳಿದೆರಡು ಭುಜಗಳ ಮೇಲಿನ ಚೌಕಗಳ ಸೆಲೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.” ಎಂಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆತನ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ಇಂದು ಬೋಧಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಚಿತ್ರ 3

03_401_VV-KUH

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ

LM2 + MN2 = LN2

LM = 3, MN = 4 ಆದಾಗ, LN = 5 ಆಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3).

LM = 4, MN = 5 ಆದಾಗ LN = 41ರ ವರ್ಗಮೂಲ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ, 6ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಆದರೆ 7 ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಂದೇ ನಮಗೆ EA ಅಂತರವನ್ನು (ಚಿತ್ರ 2) ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಿಂದ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ.

3, 4, 5; 5, 12, 13 ಮೊದಲಾದ ವಿಶೇಷ ಸಂಖ್ಯಾಸಮುದಾಯಗಳಿಗೆ ಪೈಥಾಗೊರಸ್‌ಸಂಖ್ಯಾತ್ರಯಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಯದಲ್ಲಿಯೂ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಮೂರನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್‌- ತ್ರಯಗಳು ಭುಜಗಳಾಗುವಂತೆ ರಚಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ತ್ರಿಭುಜಗಳೂ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟಸನ ಫ್ಯಾಂಟಮ್‌(ಭೂತ)

ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟಸ್‌ಕ್ರಿಸ್ತಶಕ ಸುಮಾರು 250ರ ವೇಳೆಗೆ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯದಲ್ಲಿ (ಗ್ರೀಸ್‌) ಗಣಿತ ಸಾರ್ವಭೌಮನಾಗಿ ಮೆರೆಯುತ್ತಿದ್ದನೆಂದು ಪ್ರತೀತಿ. ಈ ಪ್ಯಾಂಟಮ್ಮನ ಸಾಹಸಗಳು ಇಂದಿಗೂ ಗಣಿತರಂಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಪಂಡ ತರಂಗಗಳನ್ನು ಎಬ್ಬಿಸುತ್ತಲೇ ಇವೆ. ಇಂದು ಬೀಜಗಣಿತವೆಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಗಣಿತವಿಭಾಗದ ಪ್ರವರ್ತಕರ ಪೈಕಿ ಈತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ. ಸುಲಭ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದನ್ನು ನೋಡಿ:

ದತ್ತ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಎರಡು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಒಡೆಯಬಹುದೆ?

ಉದಾಹರಣೆ: 5, 11

5 = 1 + 4 = 2 + 3

11 = 1 + 10 = 2 + 9 = 4 + 7 = 5 + 6

ಸಂಖ್ಯೆ ದೊಡ್ಡದಾದಂತೆ ಈ ಸುಲಭ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಕೂಡ ದೊರೆಯುವ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಲು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬರೆದೇ ನೋಡುವುದು ಯಾಂತ್ರಿಕವೂ ನೀರಸವೂ ಆದ ಶ್ರಮ. ಹೀಗಲ್ಲದೇ

X+y = 5, u + v = 11

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆದರೆ ನಿರೂಪಣೆ ಅಡಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೇಳುವುದಿಷ್ಟು: x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳು ಅಥವಾ ಚರಗಳು. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಸದಾ 5 ಆಗಿರುವಂತೆ ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. U ಮತ್ತು v ಎಂಬ ಬೇರೆ ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳು ಅಥವಾ ಚರಗಳು. ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಸದಾ 11 ಆಗಿರುವಂತೆ ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. ಇವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಂದೊಂದು ಒಪ್ಪಂದ (contact).

ಹೀಗೆ ನಮ್ಮ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದ ಬಳಿಕ ಆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಪಡಿಸುವಂತೆ ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳನ್ನೂ ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚುವುದು ಮುಂದಿನ ಹೆಜ್ಜೆ.

X + y = 5

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x ಮತ್ತು y ಅಜ್ಞಾತಗಳ 1, 4; 2, 3; 3, 2; 4, 1 ಬೆಲೆಗಳು ತಾಳೆಪಡೆಸುತ್ತವೆ; ಬೇರೆ ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳೂ ಅಲ್ಲ (ನಮ್ಮ ವ್ಯವಹಾರ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಡನೆ ಮಾತ್ರ). ಈ ನಾಲ್ಕು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳೆಂದು (solutions) ಹೆಸರು.

u + v = 11

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ನೀವೇ ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಿ; ಅವನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಿ ಬರೆಯಲೂ ಬಲ್ಲಿರಿ. ಇಂಥ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ

x + y = z

ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿವೆ : 1, 2, 3; 1, 4, 5; 2, 7, 9; ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ರೂಪದ ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್‌ಸಮೀಕರಣ. ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್‌ಸಮೀಕರಣವೆಂದರೆ, “ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಕಗಳಿರುವ, ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನೂ ತಾಳೆ ಪಡಿಸಬಲ್ಲ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅನಿರ್ಧರಣೀಯ ಸಮೀಕರಣ.” ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ

x2 + y2 = z2

ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್‌ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದರಲ್ಲಿ x, y, z ಎಂಬ ಮೂರು ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಗುಣಕವೂ (coefficient) 1. x = 3, y = 4, z = 5, y = 12, z = 13 ಮುಂತಾದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್‌ತ್ರಯಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಪಡಿಸುತ್ತವೆ.

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ತ್ರಯಗಳು ಎಷ್ಟಿವೆ? ಅವನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರ ಉಂಟೇ? ಖುದ್ದು ಪೈಥಾಗೊರಸನೇ ಇಂಥ ಒಂದು ಸೂತ್ರ ನೀಡಿದ್ದ:

x = 2n+1, y = 2n2+2n, z = 2n2 +2n+1

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ nಗೆ ನಮಗಿಷ್ಟ ಬಂದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಲವೂ ಒಂದೊಂದು ಪೈಥಾಗೊರಸ್‌ತ್ರಯಲಭಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ

x2 + y2 = z2

ಎಂಬ ಡಯೋಪ್ಯಾಂಟೈನ್‌ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ n = 1 ಆದಾಗ 3, 4, 5 ; n = 2 ಆದಾಗ 5, 12, 13 ಆದರೆ nಗೆ ಯಾವ ಬೆಲೆ ಕೊಟ್ಟರೂ ಶುಲ್ವ ಸೂತ್ರಕಾರರು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದ 8, 15, 17 ಮತ್ತು 12, 35, 37 ತ್ರಯಗಳನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅವರಾದರೂ ಯಾವುದೇ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರ ಶೋಧಿಸಿ ಅದರ ನೆರವಿನಿಂದ ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ತ್ರಯಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದರೆಂಬುದಕ್ಕೆ ಆಧಾರ ದೊರೆತಿಲ್ಲ. ಪ್ರಾಯಶಃ ಯಜ್ಞ ವೇದಿಕೆಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಗಾತ್ರಗಳ ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತಿದ್ದಾಗ ಈ ತ್ರಯಗಳನ್ನು ಅಕಸ್ಮಾತ್ತಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿದ್ದಿರಬಹುದು.

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಕಾಲಾನಂತರ ಬಂದ ಆತನ ಪಂಥದ ಗಣಿತವಿದರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಗಣಿತಪಂಥದವರ ಚಿಂತನೆಯಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತರಾಗಿ ಪೈಥಾಗೊರಸ್‌- ತ್ರಯಗಳನ್ನು ನೀಡಬಲ್ಲ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ:

x = 2n,

y = n2 – 1,

z = n2 + 1

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ nಗೆ ಸ್ವೇಚ್ಛೆಯಂತೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಸಂವಾದೀ ಪೈಥಾಗೊರಸ್‌- ತ್ರಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ n = 2 ಆದಾಗ 3, 4, 5 ಮತ್ತು n = 4 ಆದಾಗ 8, 15, 17 ದೊರೆಯುತ್ತವೆ.

ಫರ್ಮಾನ ಫರ್ಮಾನ್

x + y = z

x2 + y2 = z2

ಎಂಬ ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್‌ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿವೆ. ಇವನ್ನು ಕೊಡಬಲ್ಲ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಇದೇ ಜಾತಿಗೆ ಸೇರಿದ ಇನ್ನೂ ಮೇಲಿನ ಮಜಲಿನ ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್‌ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಈ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಅನ್ವಯವಾಗುವುದೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಹಜವಾಗಿ ಮೊಳೆಯುತ್ತದೆ:

x3 + y3 = z3

x4 + y4 = z4

x5 + y5 = z5 ಇತ್ಯಾದಿ

ನಾವು ಹಲವು ಗಣಿತ ನಿಷ್ಠ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಓದುತ್ತಿದ್ದಾಗ

x3 + y5 = z3

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಪಡಿಸಬಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿಯೇ ತೀರುವೆವು ಎಂಬುದಾಗಿ ಹನುಮಂತ – ಶಪಥಮಾಡಿ ಆ ದಿಸೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಯತ್ನಶೀಲರಾದೆವು. ಅಂದರೆ x,yಗಳಿಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ zನ ಸಂವಾದೀ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ತೊಡಗಿದೆವು. ಆದರೆ ಎಷ್ಟೇ ಕಾಗದ ಕಡ್ಡಿ ಕಾಲ ವೆಚ್ಚಿಸಿದರೂ z ಮಾತ್ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯಕ್ಷವಾಗಲೇ ಇಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಸರ್ವಾನುಮತದಿಂದ “ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಮೂಲಭೂತ ದೋಷವಿದೆ” ಎಂಬ ಠರಾವನ್ನು ಮಂಡಿಸಿ ಮಂಜೂರು ಮಾಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆಂಬ ತೃಪ್ತಿ ತಳೆದವು! ಪ್ರಾಯೋಪವೇಶ ಮಾಡುವ ‘ಅಳ್ಳೇಶಿ’ಗಳಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದುದರಿಂದ ! ಕುಣಿಯಲು ಬಾರದ ನರ್ತಕಿ?

ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ತೀರ ಮುಗ್ಧವಾಗಿಯೂ ನಯನಾಕರ್ಷಕವಾಗಿಯೂ ಆಹ್ವಾನಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ನಮ್ಮನ್ನು ಗಣಿತ ಅಂತರಾಳಗಳಿಗೇ ಚೋಚಿಸಿಬಿಡುವುದು ವಿರಳವೇನಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಹಲವಾರು ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ವಿಫಲವಾದುದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಅವು ಸಾಲದೆಂದು ಮಾತ್ರ. ಅನಂತ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಇರಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಈ ಹಲವು ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೊರ ಅಂಚನ್ನು ಕೂಡ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದವು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ತಾಳೆನೋಡಿ ಇತ್ಯರ್ಥಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯೇ ಇದಲ್ಲ.

ಫ್ರಾನ್ಸಿನ ಪಿಯರೆ ಡ ಫರ್ಮಾ ಎಂಬ ಹವ್ಯಾಸೀಗಣಿತವಿದನ ಅಪಾರ ಗಣಿತಾಸಕ್ತಿಗಳ ಪೈಕಿ

xn + yn = zn

ಸಮೀಕರಣದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರದ ಅನ್ವೇಷಣೆಯೂ ಒಂದಾಗಿತ್ತು. nನ ಬೆಲೆ 2ಕ್ಕಿಂತ ಹಿರಿದಾದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಪಡಿಸಬಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆ (proof) ಒದಗಿಸುವುದು ಅವನ ಎದುರಿದ್ದ ಸವಾಲು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದ ಗಣಿತಗ್ರಂಥದ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಫರ್ಮಾ ಚುಟುಕು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಗೀಚಿದ್ದ, “3ನೇ ಘಾತದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3ನೆಯ ಘಾತದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದು. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ 4ನೆಯ ಘಾತದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದು. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ 2ನೆಯ ಘಾತಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಘಾತದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಘಾತದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಈ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ನಿಜಕ್ಕೂ ಅತ್ಯಂತ ಅದ್ಭುತ ಸಾಧನೆ ಪಡೆದಿದ್ದೇನೆ. ಆದರೆ ಅದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಈ ಪುಟದ ಖಾಲಿ ಅಂಚಿನ ಜಾಗ. ಸಾಲದು.

ಇದರ ಅರ್ಥ ಹೀಗಿದೆ: ಬೆಲೆ 2ಕ್ಕಿಂತ ಹಿರಿದಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ

xn + yn = zn

ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್‌ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಪಡಿಸಬಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ.

1637ರ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಫರ್ಮಾ ಈ “ಅತ್ಯಂತ ಅದ್ಭುತ” ಸಾಧನೆಯ ಬೆಳಕು ಕಂಡಿರಬೇಕು. ಆತ ಗತಿಸಿದ (1665) ತರುವಾಯ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾದ ಆತನ ಪ್ರಬಂಧ ಸಂಕಲನಗಳ ಮೂಲಕ ಇದು “ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ” (Fermat’s Last Theorem) ಎಂಬ ಅಭಿಧಾನದಿಂದ ವಿದ್ವತ್‌ಪ್ರಪಂಚದ ಬೆಳಕು ಕಂಡಿತು.

ಹದಿನೇಳನೆಯ ಶತಮಾನದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಹವ್ಯಾಸಿ ಗಣಿವಿದರ ರಾಜ, ಬೌದ್ಧಿಕವಾಗಿ ಪರಮೋಚ್ಛಮಟ್ಟದ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ಫರ್ಮಾನನ್ನು ಗಣಿತಚರಿತ್ರಕಾರರು ವರ್ಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವನ ಗಣಿತ ಶ್ರೀಮಂತಿಕೆಯನ್ನು ಅರಿತಿದ್ದ ಮುಂದಿನ ಪೀಳಿಗೆಯ ಗಣಿತವಿದರು ಫರ್ಮಾ ಕಂಡಿದ್ದ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಜಕ್ಕೂ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದ, ಆದರೆ ತಮಗೆ ಉಪಲಬ್ಧವಿರದ, ಆತನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಧನೆಯ ಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ನಿರತರಾದರು. ಆ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ನೂತನ ವಿಸ್ಮಯಕರ ಉಪೋತ್ಪನ್ನಗಳು ಅವರಿಗೆ ಲಭಿಸಿದುವು. ಗಣಿತದ ನವಶಾಖೆಗಳೇ ಉದಯಿಸಿದುವು. ಗಣಿತ ಸರ್ವಾಂಗಸುಂದರವಾಗಿ ವಿಕಸಿಸಿತು. ಇವೆಲ್ಲವೂ ನಿಜ. ಆದರೆ ಫರ್ಮಾ ಕಂಡಿದ್ದ ಆ “ಅತ್ಯಂತ ಅದ್ಭುತ ಸಾಧನೆ” ಮಾತ್ರ ಕೈಗೂ ಎಟುಕಿರಲಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಕೈಕೊಟ್ಟಿತ್ತು. ಯಕ್ಷಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಸಮರ್ಪಕ ಪರಿಹಾರವೀಯಬಲ್ಲ ಧರ್ಮನಂದನ ಎಲ್ಲಿದ್ದಾನೆ? ಎಂದು ಬರುತ್ತಾನೆ?

ಗಣಿತ ಪ್ರಪಂಚದ ಚಿರಂತನ ಆಸಕ್ತಿ ಗುರುತಿಸಿದ ಪ್ಯಾರಿಸ್‌ಅಕ್ಯಾಡೆಮಿ 1816ರಲ್ಲಿ ಕಳಕ್ಕೆ ಇಳಿಯಿತು: ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆ ಒದಗಿಸುವವರಿಗೆ ಹಿರಿಮೊತ್ತದ ಬಹುಮಾನವಿತ್ತು ಗೌರವಿಸುದಾಗಿ ಸಾರಿತು. ಆ ವೇಳೆ ಜೀವಂತನಾಗಿದ್ದ, ಪ್ರಪಂಚದ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಸರ್ವಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸರ ಪೈಕಿ ಒಬ್ಬನೆಂದು ಹೆಸರಾಂತ ಜರ್ಮನಿಯ ಕಾರ್ಲ್‌ವಿಲ್‌ಹೆಲ್ಮ್‌ಪ್ರೀಡರಿಶ್‌ಗೌಸ್‌(1777 – 1855) ಎಂಬಾತನ ಮುಂದೆ ಅವನ ಸ್ನೇಹಿತರು ಹಲವರು ಈ ಆಮಿಷವನ್ನು ಒಡ್ಡಿದರು, “ಪ್ಯಾರಿಸ್‌ಬಹುಮಾನದ ಪ್ರಕಟಣೆಯತ್ತ ನನ್ನ ಗಮನ ಸೆಳೆದದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ನಿಮಗೆ ಆಭಾರಿ ಆಗಿದ್ದೇನೆ. ಆದರೆ ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ ಕೇವಲ ಒಂಟಿ ಸವಾಲಾಗಿ ನನ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಕುತೂಹಲವನ್ನೂ ಪ್ರೇರಿಸಿದು.

[ಆಸಕ್ತ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಬೀಸಿನಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಸವಾಲುಗಳು ಮಾತ್ರ ನನ್ನಲ್ಲಿ ಕುತೂಹಲವನ್ನು ಪ್ರೇರಿಸುತ್ತವೆ.] ಏಕೆಂದರೆ ರುಜುವಾತಿಸಲು ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಇಂಥ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಾನು ಅತಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಂಡಿಸಬಲ್ಲೆ” ಎಂಬ ಮಾತುಗಳಿಂದ ಗೌಸ್‌ಇದನ್ನು ಲಘುವಾಗಿ ಬದಿಗೊತ್ತಿದ.

ಚಿನ್ನದ ಮೊಟ್ಟೆ ಇಡುವ ಹೇಂಟೆ

20ನೆಯ ಶತಮಾನ ಆಗಮಿಸುವ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ ಆ ಯುಗದ ಅಸಾಧಿತ ಮಹಾಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದು ಎಂಬ ಉಚ್ಚ ಅಂತಸ್ತು ಪಡೆದಿತ್ತು. ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಯೋ ಎಂಬಂತೆ ಜರ್ಮನಿಯ ಉದ್ಯಮಪತಿ – ಗಣಿತವಿದ ಪಾಲ್‌ವೂಲ್ಫ್‌ಸ್ಕೇಹ್ಲ್‌(? – 1908) ಎಂಬಾತ, ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಧನೆ ಒದಗಿಸುವವನಿಗೆ ಒಂದು ಲಕ್ಷ ಮಾರ್ಕ್ಸ್‌ಧನ ಬಹುಮಾನವೀಯುವುದಾಗಿ ಘೋಷಿಸಿ, ಅದನ್ನು ವಿತರಿಸಲು ಒಂದು ನ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ.

ಸಾರಿಗೆ, ಸಂಪರ್ಕ, ಪ್ರಚಾರ, ವಿನಿಮಯ ಮೊದಲಾದವು ತೀವ್ರವಾಗಿ ವೃದ್ಧಿಗೊಂಡ 20ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಸವಾಲು ಬಹುಸಂಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಾಸಕ್ತರ ಲಕ್ಷ್ಯ ಸೆಳೆಯಿತು. ಹಿರಿಯರು ಕಿರಿಯರು ಎಲ್ಲರೂ ಇದರತ್ತ, ಅಥವಾ ಇದು ಗರ್ಭಿಸಿಟ್ಟುಕೊಂಡಿದ್ದ ಸುವರ್ಣದತ್ತ, ಧಾವಿಸಲಾರಂಭಿಸಿದರು. “ನಾನು ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಧನೆ ಪಡೆಯುವುದರಲ್ಲಿ ನಿರತನಾಗಿದ್ದೇನೆ” ಎಂದು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಪಂಡಿತರ ಸಂಗದಲ್ಲಿ, ಅವರಿಗಿಂತ ಮಿಗಿಲಾಗಿ ಪಾಮರರ ಕೂಟದಲ್ಲಿ, ಬೌದ್ಧಿಕ ಅಂತಸ್ತಿನ ಪ್ರತೀಕವಾಗಿತ್ತು. ಇಂಥ ಆಸಕ್ತರಿಂದ ಹೊರಬಂದ “ಸಾಧನೆ”ಗಳ ಹರಿವಿಗೆ ಅಡೆತಡೆ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಅನುಸ್ಯೂತ ಪ್ರವಾಹವದು. ಅದರಿಂದ ಗಣಿತಕ್ಕೇನೋ ಅಪಾರ ಲಾಭವಾಯಿತು. ಆದರೆ ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದ “ಮುಚ್ಚಿದ್ದ ಅಲಿಬಾಬನ ಗವಿಬಾಗಿಲು” ತೆರೆಯಿತೇ? ಇಲ್ಲ, “ಸಿಸೀಮೆ ತೆರೆ” ಮಂತ್ರ ಯಾರ ವಶದಲ್ಲಿದೆ? ತಾವು ಸಮರ್ಪಕ ಹಾಗೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಧನೆ ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆಂದೇ ಈ ಸಾಧಕರು “ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ” ನಂಬಿ ತಮ್ಮ “ಸಾಧನೆ”ಗಳನ್ನು ಜರ್ಮನಿಯ ನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಬಹುಮಾನಕ್ಕಾಗಿ ಕಳಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಅಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ವ್ಯವಹಾರವೂ ಇಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಕುದುರಿತ್ತು. ಗತ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಗಿ ತಪ್ಪೆಂದು ಮೂಲೆಗುಂಪಾಗಿದ್ದ ಇತಿಹಾಸದ ಕಸಗಳನ್ನು ಈ ಚೋರರು ಬುದ್ಧಿಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಲಪಟಾಯಿಸಿ ಅವನ್ನು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಿಂದ ಸಿಂಗರಿಸಿ ಸ್ವಂತ “ಸಾಧನೆ”ಗಳೆಂದು ಚಲಾಯಿಸುವ ಅವ್ಯವಹಾರವೇನೂ ಕಡಿಮೆ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಖುದ್ದು ನಾನೇ ಇಂಥ ಒಂದು ಮೋಸವನ್ನು ಬಯಲಿಗೆಳೆದದ್ದು ಕೂಡ ಇತ್ತು!

ಡೇವಿಡ್‌ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟ್‌(1862 – 1943) ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸ. ಇವರನ್ನು 20ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಪ್ರತೀಕ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಹಲವಾರು ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ಒಡೆದುಹೋಗಿ ಒಂದೊಂದು ವಿಭಾಗವೂ ಮಹಾನದಿಯಾಗಿ ವಿಶೇಷೀಕರಣಗೊಂಡು ಪ್ರವಹಿಸಲು ತೊಡಗುವ ಮೊದಲು ಇದ್ದ ವಿಶ್ವಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸರ ಪೈಕಿ ಕೊನೆಯವರು ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವರ್ಣಿಸುವುದುಂಟು. ಪ್ರಪಂಚದ ಎಲ್ಲೆಡೆಗಳಿಂದ ಜರ್ಮನಿಯ ನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹರಿದು ಬರುತ್ತಿದ್ದ ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದ “ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ತಪಾಸಿಸಲು ನೇಮಕಗೊಂಡಿದ್ದ ಬಹುಮಾನ ಸಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಕ್ಷ ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟ್‌. ಸ್ವತಃ ಇವರೇ ರಂಗಪ್ರವೇಶಿಸಿ ಬಹುಮಾನ ನಿಧಿಯನ್ನು ಗಿಟ್ಟಿಸಬಹುದಿತ್ತೋ ಏನೋ. ಆದರೆ ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಇವರು ಆ ಪ್ರಲೋಭನೆಯಿಂದ ದೂರ ಉಳಿದು ಇತರರಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಧಿಸಲು ಎಡೆಮಾಟಿಕೊಟ್ಟರು.

“ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಯಾರೇ ಹೇಳಲಿ ಅದರಲ್ಲಿ ಏನೋ ಐಬು ನುಸುಳಿರುವುದು ಖಾತ್ರಿ. ಅದು ಏನೆಂದು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಿ” ಎಂದು ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟ್‌ತಮ್ಮ ಶಿಷ್ಯರಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಹಚರರಿಗೆ ಹೇಳುತ್ತಿದ್ದರಂತೆ. ಅಂದರೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ, ಅವರ ನಿಲವು ಏನಿತ್ತೆಂಬುದನ್ನು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಮೊದಲ ಜರಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ “ಕಾಳು”ಗಳು ಸಮಿತಿಯ ಮುಂದೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದುವು. ಖುದ್ದು ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟ್‌ರೇ ಅಧ್ಯಕ್ಷರಾಗಿದ್ದ ಸಮಿತಿ, ಕಾಳುಗಳ ಒಳಗೆ ಹುದುಗಿದ್ದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ದೋಷಗಳನನು ಗುರುತಿಸಿ ಆ ಕಾಳುಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಜಳ್ಳುಗಳೆಂದೇ ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತಿತ್ತು. ಪ್ರಪಂಚದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತವಿದರು ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದ ಸಮಿತಿ ತನ್ನ ತೀವ್ರ ಚರ್ಚೆಯ ವೇಳೆ ಪದೇ ಪದೇ ಅಧ್ಯಕ್ಷ ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟ್‌ರಿಗೆ ಅವರೇ ಗಣಿತದೇವಿಯ ಈ ರತ್ನ ಭಂಡಾರದ ಬೀಗಮುದ್ರೆಯನ್ನು ಒಡೆಯಬೇಕು, ಅವರೊಬ್ಬರೇ ಈ ಮಹಾಕಾರ್ಯ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಶಕ್ತರೆಂಬುದಾಗಿ ಅರಿಕೆ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತಿತ್ತು. ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟ್‌ನೀಡುತ್ತಿದ್ದ ಉತ್ತರದ ಸಾರಾಂಶ ಸ್ವಾರಸ್ಯಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, “ಪ್ರಾಯಶಃ ನಾನೊಬ್ಬ ಮಾತ್ರ ಈ ಶಿವಧನುಸ್ಸನ್ನು ಹಿಡಿದೆತ್ತಿ ಸಿಂಜಿನಿಮಿಡಿಯಲು ಸಮರ್ಥನಾಗಿರುವುದು ಅದ್ಭುತವೇ ಸರಿ. ಆದರೆ ಇಷ್ಟೊಂದು ಉಷ್ಕೃಷ್ಟವಾದ ಚಿನ್ನದ ಮೊಟ್ಟೆಗಳನ್ನು ಇಡುವ ಈ ಹೇಂಟೆಯನ್ನು ಕೊಲ್ಲದಿರಲು ನಾನು ಎಚ್ಚರಿಕೆ ವಹಿಸಬೇಕು.”

ವರ್ತಮಾನ ಸ್ಥಿತಿ

ಬಹುಮಾನವೋ ಅಪಮಾನವೋ ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತರಾದ ಗಣಿತವಿದರ ಎದುರು 1992ರ ತನಕವೂ ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ ಚಿದಂಬರ ರಹಸ್ಯವಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿತ್ತು. ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಗಣಿತಾಸಕ್ತರು ವೃತ್ತಿಪರರು ಮತ್ತು ಹವ್ಯಾಸಿಗಳು ವರ್ಷ ವರ್ಷ ಇದರ ಸಾಧನೆಯ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಜಾಡುಗಳನ್ನು ಅರಸಿ ಗುರಿ ಕೈಗೆಟುಕಿತೆಂದು ಹರ್ಷಿಸಿ, ತಮ್ಮ “ಸಾಧನೆ”ಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಆದರೆ ಅವರ ಅತಿ ಪ್ರಜ್ಞಾವಂತ ಹಾಗೂ ಪರಿಪಕ್ವ ಧೀಮಂತಿಕೆಯ ಪದರವನ್ನು ಕೂಡ ಯಾವುದೋ ಅನಂತಾಲ್ಪ ದೋಷ ಎಲ್ಲಿಯೋ ಬಲು ನಯವಾಗಿ ಅಡ್ಡಾಹಾಯ್ದು ಇಡೀ ಕೆನೆವಾಲಿನ ಭಾಂಡವನ್ನೇ ಹುಳಿ ಹಿಂಡಿ ಕೆಡಿಸಿಬಿಟ್ಟಿರುತ್ತಿತ್ತು. ಫರ್ಮಾನ ಮಾಯಾಮೃಗ ನುಣುಚಿ ಮರೆಯಾಗಿ ದೂರದಲ್ಲೆಲ್ಲೂ ಮತ್ತೆ ತಲೆಯೆತ್ತಿ ಏಡಿಸುತ್ತ ಗೋಳುಹುಯ್ದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿತ್ತು.

“ವೃತ್ತವನ್ನು ಚೌಕಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ” (ಎಂದರೆ, ದತ್ತ ವೃತ್ತದ ಸಲೆಗೆ ಸಮವಾದ ಸಲೆ ಇರುವ ಚೌಕವನ್ನು ಗೆರೆಪಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ಕೈವಾರಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ರಚಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದು) ಗಣಿತವಿದರ ಮುಂದೆ ಹಿರಿ ಸವಾಲಾಗಿ ನಿಂತಿದ್ದ ಕಾಲವೊಂದಿತ್ತು. ಅದನ್ನೀಗ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ 1993ರ ತನಕ ಫರ್ಮಾನ ನಿಗೂಢ ನಿಧಿ ಇಂಥ ಯಾವ ಸುಳುಹನ್ನೂ ನೀಡಿರಲಿಲ್ಲ.

nನ ಬೆಲೆ 3 ರಿಂದ 25,000ದ ವರೆಗೆ ಇರುವಾಗ

xn + yn = zn

ಡಯೋಫ್ಯಾಂಟೈನ್‌ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಪಡಿಸಬಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲವೆಂದು ರುಜುವಾತಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಶ್ರೇಣಿ ಅನಂತ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾಗ ಈ “ಸಾಧನೆ” ನಿಜಕ್ಕೂ ಸಿಂಧುವಿನ ಎದುರಿನ ಬಿಂದು!

ಪ್ರತ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತಿಗಳಿಗೆ ಪಂಥಾಹ್ವಾನ ಎಸೆಯುತ್ತ ಮೂರು ಶತಮಾನಗಳಿಗೂ ಮಿಕ್ಕಿ ನಿಂತಿತ್ತು ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ. ಈ ಮತ್ಸ್ಯಯಂತ್ರವನ್ನು ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಅರ್ಜುನ ಎಲ್ಲಿರುವನೊ! ಎಂದು ಬರುವನೊ! (1992ರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ)

* * *

ಈ ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ ಆಂಡ್ರೂ ವೈಲ್ಸ್‌ಹತ್ತರ ಎಳೆ ಅಣುಗನಾಗಿದ್ದಾಗ ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಆಕರ್ಷಿತರಾದರು (1963). ಗಣಿತಾಧ್ಯಯನ ಚಿಂತನ ಮಂಥನವೇ ತಮ್ಮ ಜೀವನದ ಏಕೈಕ ಲಕ್ಷ್ಯವೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಫರ್ಮಾನ ಇವರನ್ನು ವಶೀಕರಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ. ಫರ್ಮಾನಿಂದ ಅವರು ವಶೀಕೃತರೂ ಸಂಪೀಡಿತರೂ ಆಗಿದ್ದರು: He was both possessed by and obsessed with FLT! (ವಶೀಕರಣ ಎಂದರೆ possession ಬಾಹ್ಯ ಆಕರ್ಷಣೆ ಅಥವಾ ಹಿಡಿತ; ಸಂಪೀಡನ ಎಂದರೆ obsession ಆಂತರಿಕ ಪ್ರೇರಣೆ ಅಥವಾ ತುಡಿತ.) FLT ಮಾಯಾಮೃಗಾನುಶೀಲನೆ ವೇಳೆ ಅವರು ಜನವಿದೂರರಾಗಿ (ಎಂಟು ವರ್ಷ ‘ವಲ್ಮೀಕ’ವಾಸಿಗಳಾಗಿ) ಗಣಿತತನ್ಮಯರಾಗಿದ್ದರು – ಮೇರು ಶೃಂಗಾರೋಹಣಕಾರರಂತೆ.

ದಿನಾಂಕ 26 – 6 – 1993 ರಂದು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ದೈನಿಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಮಾಚಾರ, “ಕೊನೆಗೂ ಈ ‘ಅಗೋಚರ’ ಆದರೆ ಖಚಿತ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಇದೆಯೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದ್ದ ‘ಸಾಧನೆ’ ಸಿದ್ಧಿಸಿದೆ! ಅರ್ಥಾತ್‌ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಮೆರಿಕ ಪ್ರಿನ್‌ಸ್ಟನ್‌ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಡ್ರೂ ವೈಲ್ಸ್‌ಈ ‘ಸಾಧನೆ’ ಗಳಿಸಿರುವ ಪರಮ ಸಾಧಕ.”

ಮುಂದೆ ವೈಲ್ಸ್‌27 – 6 – 1997 ರಂದು ಪಾಲ್‌ವೂಲ್ಫ್‌ಸ್ಕೇಹ್ಲ್‌ಬಹುಮಾನ ಧನವನ್ನು (50,000 ಡಾಲರ್‌) ಸ್ವೀಕರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ

xn + yn = zn

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ nನ ಬೆಲೆ 2 ಅಥವಾ ಅಧಿಕ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಬ್ರಹ್ಮಪಾಲಕ್ಕೆ ಕೊನೆಗೂ ಮೋಕ್ಷ ಪ್ರದಾನವಾಯಿತು. “ಎಲ್ಲಿ ಭಕ್ತರು ಕರೆದರಲ್ಲೆ ಬಂದೊದಗುವನು!”

ಛಲಬೇಕು ಸಾಹಸಿಗೆ ಗುರಿಸಾಧಿಸುವೆನೆಂಬ
ಬಲಬೇಕು ವೀರನಿಗೆ ರಿಪುವ ಮರ್ದಿಪೆನೆಂಬ
ಹೊಲಬೇಕು ರೈತನಿಗೆ ಬೆಳೆತೆಗೆದು ಮನುಕುಲಕೆ
ಚಲನಶೀಲತೆಯ ಪ್ರದಾನಿಸಲು ಅತ್ರಿಸೂನು ||
(1994)