“ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬರಿಗಣ್ಣಿಗೆ ಕಾಣುವ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?”

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ದೊರೆಯುವ ಉತ್ತರ “ಅನಂತ.” ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಸಾಹಿತಿ, ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ವಕೀಲ ಮುಂತಾದ ಪ್ರಾಜ್ಞರಿಂದ ಕೂಡ ಇಂಥ ವಿಚಾರವಿರಳವೂ ಭಾವುಕತಾಪ್ರಧಾನವೂ ಆದ ಉತ್ತರ ಹೊಮ್ಮುವುದುಂಟು. ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಒಕ್ಕಿದರೆ ಎಣಿಕೆಗೆ ನಿಲುಕದ ಹಿರಿಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇವರು ಅನಂತವೆಂಬುದಾಗಿ ಭ್ರಮಿಸಿರುವುದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಗಳಿಗೆ ನಮಗೆ ಗೋಚರವಾಗುವ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸುಮಾರು 3,000. ಆದ್ದರಿಂದ ಇವರ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಮಿಗಿಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತದ ಸೀಮೆಗೆ ಸೇರಿದವೆಂದಾಯಿತು.

ನೀವು ಅಸಮ್ಮತಿ ಸುಂಯಿಗಟ್ಟುತ್ತಿರುವುದು ನನಗೆ ಕೇಳುತ್ತಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ಷುದ್ರ ಮೂರು ಸಾವಿರಕ್ಕಿಂತ ಹಿರಿದಾದ ಅನೇಕ ಬೃಹತ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಮ್ಮ ಒಡನಾಡಿಗಳಾಗಿವೆ: ನಿಮ್ಮ ನೆರೆಮನೆ ಹೃದಯತಜ್ಞನ ಮಾಹೆಯಾನ ಘೋಷಿತ ವರಮಾನ ರೂ 25,000

ಭೂಮಿ – ಸೂರ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರ 148,800,000 ಕಿ. ಮೀ.

ಪ್ರಪಂಚದ ಹಾಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆ 8,000,000,000.

ಹೊಟೆಂಟೋಟ್‌ಬುಡಕಟ್ಟಿನ ನಾಯಕನಿಗೆ ಆಸ್ತಿಪಾಸ್ತಿಯಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಹೆಂಡಿರು, ಮಕ್ಕಳು ರಾಸುಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ ಇದ್ದರೂ ಎಣಿಸುವಾಗ ಇವನ ಕಲ್ಪನೆ ಮೂರರ ಗಡಿಯನ್ನು ದಾಟಲಾರದಾಗಿತ್ತು. ಕಾರ್ಮಿಕನ ಚಿಂತನೆ ಪ್ರಾಯಶಃ ಸಾವಿರದಿಂದಾಚೆಗೆ ಮಬ್ಬಾಗುತ್ತದೆ. ದಿನವಹಿ ಅಂಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಹಿವಾಟಿನಲ್ಲಿಯೇ ನಿರತರಾಗಿರುವ ಕಾರಕೂನರ, ಲೆಕ್ಕಪತ್ರಗಾರರ ಇಲ್ಲವೇ ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞರ ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ಗಡಿ ಕೆಲವು ಸಾವಿರಗಳ ಒಳಗೇ ಇರುವುದು. ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನಿಗೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾದಿಗಂತ ಉಂಟು. ಇದರಿಂದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲವೂ ಮುಸಕು. ಗಣಿತದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅರಿಯದವರ ಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಇದೇ ಅನಂತ, ಅರಿತವರ ಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಅಸಂಖ್ಯ.

ಅಸಂಖ್ಯ ಎಂದರೆ ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಿ ಪೂರೈಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರ್ಥ. ಅಸಂಖ್ಯತೆ (uncountability) ಎಂಬುದು ಆತನ ಮಾನಸಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಿಂಬಿಸುವ ಮಾನಕ. ಒಬ್ಬನಿಂದ ಇನ್ನೊಬ್ಬನಿಗೆ ಇದು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ದಿಗಂತದಂತೆ.

ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡೋತ್ಪತ್ತಿವಿಜ್ಞಾನ (cosmogony) ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧರಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಿಕೆ ಬಿನುಮ್‌ಸ್ಕ ಎಂಬಾಕೆ ಭೂಮಿಯ ಭವಿಷ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ತಜ್ಞರ ಸಭೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಷಣ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. “ಇನ್ನು ಸುಮಾರು ಒಂದು ಬಿಲಿಯನ್‌(100) ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯಾಗ್ನಿಗೆ ಭೂಮಿ ಆಹುತಿಯಾಗುವುದೆಂಬುದಾಗಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಗಣನೆಗಳಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ.”

ಸಭಾಂಗಣದ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕಂಪಿತಸ್ವರ ತೇಲಿಬಂತು. “ಕ್ಷಮಿಸಿ ಶ್ರೀಮತಿಯವರೇ ! ಇ – ಇ – ಇನ್ನೆಷ್ಟು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಭವಿಸಲಿದೆಯೆಂದು ಹೇಳಿದಿರಿ?”

ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಿಕೆ ತಣ್ಣಗೆ ಮರು ನುಡಿದರು, “ಸುಮಾರು ಒಂದು ಬಿಲಿಯನ್‌ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ !”

“ಸದ್ಯ ಬಚಾವ್‌ಒಂದು ಕ್ಷಣ ನಾನು ಭಾವಿಸಿದ್ದೆ ನೀವು ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್‌(106) ಅಂದಿದ್ದಿರೆಂದು !”

1 ಬಿಲಿಯನ್‌ = 109 = 1,000,000,000

1 ಮಿಲಿಯನ್‌ = 106 = 1,000,000

1 ಮಿಲಿಯನ್‌x 1,000 = 1,000,000 1 ಬಿಲಿಯನ್‌

ಒಂದು ಬಿಲಿಯನ್‌ಮತ್ತು ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್‌ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಷ್ಟೊಂದು ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ಅನುಭವಿಸಿ ಮೊದಲು ಬೇಗುದಿಯನ್ನೂ ಬಳಿಕ ನೆಮ್ಮದಿಯನ್ನೂ ಸೂಸಿದ ಆ ಕೊನೆಸಾಲಿನ ಪ್ರಭೃತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾದಿಗಂತ ನಿಜಕ್ಕೂ ಅತಿವಿಸ್ತಾರವಾಗಿರಬೇಕು.

ವಾಲ್ಮೀಕಿ ರಾಮಾಯಣದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಎರಡು ಪ್ರಸಂಗಗಳು2 ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳತ್ತ ನಮ್ಮ ಗಮನ ಸೆಳೆಯುತ್ತವೆ.

ಸುಗ್ರೀವನಿಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಮಾತಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಾಲಿಯನ್ನು ರಾಮ ಸಂಹರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ರಾಜ್ಯ ಪಡೆದ ಸುಗ್ರೀವ ರುಮೆ ತಾರೆಯರೊಡಗೂಡಿ ಸುಖಲೋಲುಪನಾಗಿ ರಾಮನಿಗೆ ನೀಡಿದ್ದ ವಚನಪಾಲನೆಯಲ್ಲಿ ಉದಾಸೀನನಾಗಿದ್ದಾನೆ. ಕುಪಿತ ಲಕ್ಷ್ಮಣ ಸುಗ್ರೀವನಿಗೆ ಶಿಕ್ಷೆ ವಿಧಿಸಲು ಇವನ ಅಂತಃಪುರ ಹೊಕ್ಕಿದ್ದಾನೆ. ತಾರೆ ಲಕ್ಷ್ಮಣನಿಗೆ ಸಾಂತ್ವನವೆರೆಯುತ್ತ ಲಂಕಾಧಿಪತಿಯ ಸೇನಾಧಿಕ್ಯ ಎಷ್ಟೆಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾಳೆ, “ಲಂಕೆಯಲ್ಲಿ ನೂರು ಸಾವಿರ ಕೋಟಿ ರಾಕ್ಷಸರೂ ಇನ್ನೂ ಮೂವತ್ತಾರು ಹತ್ತು ಸಾವಿರ ರಾಕ್ಷಸರೂ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಲಕ್ಷ ರಾಕ್ಷಸರೂ ಇರುವರಂತೆ.”

ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರಾವಣಸೈನ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆ

1012 + 36 x 104 + 105

ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಸಂಗ ಘಟಿಸುವ ವೇಳೆಗೆ ರಾಮನ ದಂಡು ಲಂಕೆಯಲ್ಲಿ ಬೀಡು ಹೂಡಿದೆ. ರಾವಣನ ಮಂತ್ರಿಗಳಾದ ಶುಕ ಮತ್ತು ಸಾರಣ ವಾನರ ಸೈನ್ಯದ ಲೆಕ್ಕ ತಿಳಿದು ಒಡೆಯನಿಗೆ ಒಪ್ಪಿಸಿದ್ದಾರೆ: ಸಾವಿರ ಕೋಟಿ ನೂರು ಶಂಖ ಸಾವಿರ ಮಹಾಶಂಕ ನೂರುಬೃಂದ ಸಾವಿರ ಬೃಂದ ನೂರು ಪದ್ಮ ಸಾವಿರ ಮಹಾಪದ್ಮ ನೂರು ಖರ್ವ ನೂರು ಸಮುದ್ರ ನೂರು ಮಹೌಘ.

ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಾನರ ಸೈನ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆ

1010 + 1014 + 1020 + 1024 + 1030 + 1034 + 1044 + 1052 + 1062

ರಾವಣನ ಸೇನಾಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ರಾಮನದು ಅಧಿಕವೆಂಬ ಸಂಗತಿ ಒಡನೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಒಂದೊಂದರ ನಿಜಮೌಲ್ಯ ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಘಾತಾಂಕರಹಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪೂರ್ತಿಬರೆದು (ಉದಾ: 1012 = 1,000,000,000,000) ಮೊತ್ತ ಪಡೆದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವ ಗಾತ್ರದ್ದು ಎಂಬುದು ನನ್ನ ಪ್ರಜ್ಞೆಗಂತೂ ನಿಲುಕದು. ನನಗದು ಅಸಂಖ್ಯೆ. ನಿಮಗೋ?.

ಅಂದ ಹಾಗೆ ರಾಮನ ಸೇನಾಸಂಖ್ಯೆ ರಾವಣನದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಸುಮಾರು 1050 ಮಡಿ ದೊಡ್ಡದು. ಈ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿ ಕೂಡ ನನ್ನ ಅರಿವಿನ ಮೇರೆಯನ್ನು ಸಾಂಖ್ಯಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ ಎಂದೆನ್ನಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಗುಡ್ಡಗೆ ಗುಡ್ಡ ಅಡ್ಡ ಎಂಬ ಗಾದೆ ಉಂಟು. ಆದರೆ ಖುದ್ದು ಬೆಟ್ಟಗಳನ್ನೇ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತ ಹೋದರೆ ಮೌಂಟ್‌ಎವರೆಸ್ಟಿಗೆ ಅಡ್ಡ ನಿಲ್ಲಬಲ್ಲ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಡ್ಡೆ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಗಾದೆಯ ವಾಚ್ಯಾರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಉಂಟು ಎಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಶ್ರೀಮಂತರನ್ನು ಖೋಮೈನಿಗಳಿಂದ ತೊಡಗಿ ರಾಕಿಫೆಲ್ಲರ್‌ವರೆಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೂ ಅಷ್ಟೆ. ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಈ ರಿಕ್ತತೆ ಇಲ್ಲ.

ಆಗ ತಾನೇ ಕೂಡು – ಕಳೆ ಲೆಕ್ಕ ಕಲಿತ ಮುಗ್ಧಬಾಲಕರ ವಾದ ವೈಖರಿ ನೋಡಿ: ಗಿರೀಶ. “ಲೋ ಅಭಯ! ನೀನೆಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೇಕಾದರೂ ಬರೆ. ನನಗೆ ಭಯವಾಗದು. ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದದ್ದನ್ನು ನಾನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ.”

ಅಭಯ ಬರೆದ : 999,999,999,999,999

ಹಾಳೆ ಮುಗಿದದ್ದರಿಂದಲೋ ಕೈ ಬಳಲಿದ್ದರಿಂದಲೋ ಕಲ್ಪನೆ ಸೊರಗಿದ್ದರಿಂದಲೋ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಿದ. ಒಡನೆ ಗಿರೀಶ ಅದರ ಮುಂದೆ + 1 ಬರೆದು ಅಭಯವನ್ನು ಸೋಲಿಸಿದ:

999,999,999,999,999 + 1 = 1,000,000,000,000,000

ಈ ಬೃಹತ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಓದುವುದೆಂಬುದು ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ. (ಅಭಯ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆ: ಒಂಬೈನೂರತೊಂಬತ್ತೊಂಬತ್ತು ಶಂಖ ತೊಂಬತ್ತೊಂಬತ್ತು ಸಾವಿರ ಒಂಬೈನೂರು ತೊಂಬತೊಂಬತ್ತು ಕೋಟಿ ತೊಂಬತೊಂಬತ್ತು ಲಕ್ಷ ತೊಂಬತೊಂಬತ್ತು ಸಾವಿರ ಒಂಬೈನೂರು ತೊಂಬತೊಂಬತ್ತು. ಗಿರೀಶ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾವಿರ ಶಂಖ.) ಇವುಗಳ ಗಾತ್ರಗಳ ಬಗೆಗೆ ಅವರು ಪೂರ್ಣ ಮುಗ್ಧರಾಗಿದ್ದರು. ಹೀಗಿದ್ದರೂ ಇವು ಎಣಿಕೆಯ ಸೀಮೆಯೊಳಗಿವೆ ಎಂಬ ಭಾವ ಅವರ ಮನದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿತ್ತೆಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹ.

ಹಾಗಾದರೆ ಎಣಿಕೆಗೆ ಅಳವಡುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆಯೇ? ಇದ್ದರೆ ಅದು ಯಾವುದು? ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಸರಾಸರಿ 1 ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆ 365 ದಿವಸಗಳ ಒಂದು ವರ್ಷ ಪೂರ್ತಿ 1, 2, 3, 4, 5 ಮುಂತಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯಾನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತ ಸಾಗಿದ್ದೇವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ವರ್ಷಾಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವೇರಿದ ಎತ್ತರ ಮಹಾ ಏನೂ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದು ಕೇವಲ 31,536,000 (ಇದು 1 ವರ್ಷದಲ್ಲಿರುವ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.) ಮುಂದೆ ಎಷ್ಟು ವರ್ಷ ಪರ್ಯಂತ ಹೀಗೆಯೇ ಸಾಗಿದರೂ, ಎಷ್ಟುಮಂದಿ ಸಹಾಯಕರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಂಡರೂ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಲುಪುವುದಂತೂ ಗಗನ ಕುಸುಮವೇ ಸರಿ. ಏಕೆ?

ರೂಬಿಕ್‌ಘನಾಕೃತಿಯ ಬಣ್ಣಗಳ ತಿರುಗುಮುಚ್ಚಾಲೆ ಮೋಡಿ ಒಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮಕ್ಕಳನ್ನೂ ಮುದುಕರನ್ನೂ ಸಮವಾಗಿಯೇ ಹುಚ್ಚರನ್ನಾಗಿಸಿತ್ತು. ಇದರ 9 x 6 = 54 ಬಣ್ಣ ತುಣುಕುಗಳ ಸಮಸ್ತ ಸಾಧ್ಯ ಜೋಡಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ “ಕೇವಲ” 43,252,003,274,489,856,000 (ನಾನೂರಮೂವತ್ತೆರಡು ಮಹಾಶಂಖ ಐವತ್ತೆರಡು ಸಾವಿರ ಮೂರು ಶಂಖ ಇಪ್ಪತ್ತೇಳು ಸಾವಿರ ನಾನೂರು ನಲವತ್ತೆಂಟು ಕೋಟಿ ತೊಂಬತ್ತೆಂಟು ಲಕ್ಷ ಐವತ್ತಾರು ಸಾವಿರ). ವಿಶ್ವದ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆದುದಾದರೆ ಅದು ಈ ಮೇಲಿನ 20 – ಅಂಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೂರನೆಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗುವುದೆಂದು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು (cosmologists) ಆಶ್ವಾಸಿಸುತ್ತಾರೆ! ಆದರೂ ಅಭಯ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ ಗಿರೀಶ + 1 ಬರೆದು ಇದನ್ನು ಮೀರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಲ್ಲ. ಹಾಗಾದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನ್ವೇಷಣೆ ವ್ಯರ್ಥ ಸಾಹಸವೇ?

ಹೌದು. ಎಣಿಕೆಗೆ ಅಳವಡುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬುದೇ ಇಲ್ಲ, ಗಿರೀಶ ಬರೆದ ಹಿರಿಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಲಿ ವಾನರ ಸೇನಾಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಲಿ ಖುದ್ದು ಗೂಗಾಲ್‌ಪ್ಲೆಕ್ಸೇ ಆಗಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸಾಂತ (ಸ+ಅಂತ, finite) ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ.

ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ. ಅರ್ಥಾತ್‌, ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತ (infinite). ಅಂದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ನಮ್ಮ ಅಳತೆಗೆ ನಿಲುಕದು ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅದನ್ನು ಅನಂತವೆನ್ನುವುದು ತರವಲ್ಲ ಗಣಿತಮೊಪ್ಪದು ಕಣಾ!

ಎಣಿಕೆಗೆ ಅಳವಡುವ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಸಾಂತಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಂತತೆ ಎಂಬುದು ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಾಸಾಮರ್ಥ್ಯಾವಲಂಬಿಯಲ್ಲದ ಒಂದು ಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಸಾಂತಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತವೆಂದಿರುವುದು (infinite) ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಈ ಅನಂತವೆಂಬುದು ಅಸಂಖ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದದ್ದು.4 ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625 ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ಇಳಿಯುವ ಸಂಖ್ಯಾ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತ ಹೋಗೋಣ. ಇಲ್ಲಿಯ ರೂಪಣ ನಿಯಮ ಅತಿಸರಳ: ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಮುಂದಿನ ಪದ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 0.0625ರ ಉತ್ತರ ಪದ 0.03125. ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತ. ಹಾಗಿದ್ದರೂ ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಅನಂತವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಧಿಕಾಧಿಕ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಕ್ರಮಶಃ 2 ನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವುದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

1+0.5+0.25+0.125+ = 1.875

1+0.5+0.25+0.125+0.0625 = 1.9375

ಮೊದಲ 10 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = 1,998046875

ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ತೊಡಗಿ ಕೋಟಿ ಮಹೌಘ (1067), ಗೂಗಾಲ್‌ಪ್ಲೆಕ್ಸ್‌ಇಲ್ಲವೇ ಇನ್ನೂ ಅಧಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಪದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಷ್ಟಷ್ಟು 2ನ್ನು ಸಮೀಪಿಸೀತೆ ವಿನಾ ಎಂದೂ ಸಾಕ್ಷಾತ್‌2 ಆಗದು ಸಾಮೀಪ್ಯ ಸರಿ, ಸಾಯುಜ್ಯ ಸಲ್ಲ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಇದು ಭಾಜ್ಯ) ಬೇರೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (ಇದು ಭಾಜಕ) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧವೆಂದು ಹೆಸರು. ಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಿರಿದುಗೊಳಿಸುತ್ತ ಹೋದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಹಿರಿದಾಗುತ್ತ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ

16 ÷4 = 4, 16÷2 = 8, 16÷0, 5 = 32, 16÷0.01 = 1600

ಹಾಗಾದರೆ, ಭಾಜ್ಯ ಸೊನ್ನೆಯೇ ಆದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಏನು? ಕ್ರಿಸ್ತಶಕ ಹನ್ನೆರಡನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬಾಳಿದ್ದ ಭಾಸ್ಕರs ಎಂಬ ಗಣಿತವಿದ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗ. ಆತನ ಪ್ರಕಾರ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಅನಂತವಾಗುತ್ತದೆ.

“ನೀವು ಅಸಂಖ್ಯವೆನ್ನಿ ಸಾಂತವೆನ್ನಿ, ಅನಂತವೆನ್ನಿ, ಅನಂತಕಾಲವೋ ಅಸಂಖ್ಯ ಕಾಲವೋ ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಜಪಿಸುತ್ತಹೋಗಿ, ನನಗೆ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಪದಗಳ ದೊಂಬರಾಟ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ ನನಗಾಗದು ಒಗ್ಗದಿಕೆ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವರಿಯುವುದು ನನಗೆ ಅತಿಕ್ಲಿಷ್ಟ ಮಾನಸಿಕ ಸಾಹಸ.” ಈ ಧಾಟಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತಾಡುವ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತಾರೆ. ತಮ್ಮ ಸಂಬಳವನ್ನು ಇವರು ಎಣಿಸಲಾರರು. ಇವರ ಮನೆವಾರ್ತೆ ನಿಭಾಯಿಸುವುದು ಇವರ ಸಮರ್ಥ ಪತ್ನಿ, ಇವರು ಸಂಖ್ಯಾಶತ್ರುಗಳಲ್ಲ, ಸಂಖ್ಯಾಸಂವೇದನಶೂನ್ಯರು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಭಾವದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತರಾಗದ ಸಂಖ್ಯಾಮಂದಮತಿಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾಮುಗ್ಧರು.

ಇಂಟರ್ಮೀಡಿಯೆಟ್‌ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್‌ಪಾಠ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದ ಉದ್ದಾಮ ಸಾಹಿತ್ಯ ಪಂಡಿತರು ಇಂಥ ಒಬ್ಬ ಸಂಖ್ಯಾಮಂದಮತಿ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಂದಾಗ ಇವರು ಗರಬಡಿದವರಂತೆ ಗಡಬಡಿಸುತ್ತಿದ್ದುದು ಗಣಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಾದ ನಮಗೆ ಮೋಜಿನ (ಅವರಿಗೆ ಪೇಚಿನ) ಸಂಗತಿ ಆಗಿತ್ತು.

ಖಗೋಳವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಇಂಗ್ಲಿಷ್‌ಪಾಠವನ್ನು ಅವರು ‘ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ’ದಿಂದ ಓದಿ ಮುಗಿಸಿದರು. “ನಮ್ಮ ಆಕಾಶಗಂಗೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಿಲಿಯನ್‌ನಕ್ಷತ್ರಗಳಿವೆ. ಇಂಥ ಆಕಾಶಗಂಗೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟೆಂದು ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ. ಹೀಗಿದ್ದರೂ ವಿಶ್ವದ ಬಹ್ವಂಶೆ ಖಾಲಿಯಾಗಿಯೇ ಇದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರ 30 ಟ್ರಿಲ್ಲಿಯನ್‌ಮೈಲುಗಳು.” ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿಯಲ್ಲಿ ಟ್ರಲಿಯನ್‌ಎಂದರೆ 1ರ ಬಲಕ್ಕೆ ಹನ್ನೆರಡು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬರೆದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ವಿವರಣೆ ಇತ್ತು.

ನಮ್ಮ ಇಂಗ್ಲಿಷ್‌ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕೋತ್ತಮರು ಅಪ್ಪಣೆಕೊಡಿಸಿದರು. “ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಯಾವ ಮಹತ್ತ್ವವೂ ಇಲ್ಲ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಸೊನ್ನೆ ಸೇರಿಸಿ ಅಥವಾ ಇವುಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಸೊನ್ನೆ ತೆಗೆದುಬಿಡಿ – ವಸ್ತುಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಕಂಡುಬರದು.”

ಈ ಮಹಾಶಯರಿಗೆ ಗಣಿತ – ಗಣಿಕೆ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಅರ್ಥ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ತಿಳಿಯದೆಂಬುದು ನಮಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದ್ದ ರಹಸ್ಯೆ. ಕಿಲಾಡಿಯೊಬ್ಬ ಮುಗ್ಧಪ್ರಶ್ನೆ ಎಸೆದ, “ಅಂದಮೇಲೆ ಒಂದು ನಕ್ಷತ್ರದಿಂದ ನೆರೆ ನಕ್ಷತ್ರಕ್ಕಿರುವ ದೂರದಿಂದ 30 ಟ್ರಲ್ಲಿಯನ್‌ಮೈಲುಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಬಿಟ್ಟರೆ ಎರಡೂ ಒಂದಾಗಿ ಬೆಸೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಲ್ಲವೇ ಸಾರ್‌? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಹೇಗೆ ಸಾಧ್ಯ?”

ಇಸವಿ 1942. ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಸರ್ವಾಧಿಕಾರಿ, ಮಹಾದಂಡನಾಯಕ, ನಮ್ಮ ಭವಿಷ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಆತ ಉಸುರಿದ್ದೇ ನಮಗೆ ವಿಧೇಯಕ! ಸದ್ಯ ಕಿಲಾಡಿಯ ಶಿರಶ್ಚೇದನವಾಗದಿದ್ದುದು ಪುಣ್ಯ.

ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂವೇದನಶೀಲರಾಗಿರುವ ಪ್ರಖರಮತಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಅಗಾಧ ಅಜ್ಞಾನ ಸಂಖ್ಯಾಸಂವೇದನಶೂನ್ಯತೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿದೆ. ಮಂತ್ರಿಮಹೋದಯರಲ್ಲಿಯೂ ಉಚ್ಚ ಅಧಿಕಾರಿಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಇದು ದೇಶವಿಘಾತಕ ಗುಣವಾಗಿದೆ.

“ಹಾಲಿ ವರ್ಷ ರಸ್ತೆ ಅಪಘಾತಗಳಲ್ಲಿ ಮಡಿದವರ ಸಂಖ್ಯೆ 57,565. ಇದು ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷಕ್ಕಿಂತ 467 ಕಡಿಮೆ ಎಂಬುದು ನೆಮ್ಮದಿಯ ಸಂಗತಿ” ಎನ್ನುವ ಪೊಲೀಸ್‌ಅಧಿಕಾರಿಯ ಹೃದಯಶೂನ್ಯತೆ ಬಗೆಗೆ, “ಕಳೆದ ವರ್ಷ ರಸ್ತೆ ಸಾರಿಗೆ ಸಂಸ್ಥೆ ಅನುಭವಿಸಿದ ನಷ್ಟ ರೂ. 6,56,57,340 ನಮ್ಮ ಸತತ ದಕ್ಷ ಪ್ರಯತ್ನದಿಂದ ಈ ವರ್ಷದ ನಷ್ಟ ಅದಕ್ಕಿಂತ ರೂ. 37,539 ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಸಂತೋಷಪಡುತ್ತೇನೆ” ಎಂದು ಆಶ್ವಾಸಿಸುವ ಸಾರಿಗೆ ಮಂತ್ರಿಯ ಬೇಜವಾಬ್ದಾರಿಯಬಗೆಗೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಜೆಯಾಗಿ ನಮ್ಮ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಏನು? “ಸ್ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುವ ತಂದೆಯೇ ಕಾಪಾಡು ನಮ್ಮನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯಾಸಂವೇದನಶೂನ್ಯ ಕಬಂಧರ ಅಕ್ಟೋಪಸ್‌ಹಿಡಿತಗಳಿಂದ” ಎಂಬುದಾಗಿ ಮೊಳಕಾಲೂರಿ ಮೂಕಪ್ರಾರ್ಥನೆ ಸಲ್ಲಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ. ಮೂಕಂ ಕರೋತಿ ವಾಚಾಲಂ!

ಡೊಗ್ಲಾಸ್‌ಆರ್‌. ಹಾಫ್‌ಸ್ಟ್ಯಾಡ್ಟರ್‌ಎಂಬ ಗಣಿತವಿದರು ಈ ಮಾನಸಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮೇಲೆ ಉದಾಹರಿಸಿದ ಮನೋರೋಗಿಗಳು number numbness (ಸಂಖ್ಯಾಸ್ಪರ್ಶಜ್ಞಾನರಾಹಿತ್ಯ) ಎಂಬ ವ್ಯಾಧಿಗ್ರಸ್ತರಾಗಿರುವರೆಂದು ಅವರು ವಿವರಣೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. Letter (ಅಕ್ಷರ)ಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ಓದಲಾಗದವರು ಅಥವಾ ಓದಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಅರ್ಥ ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದವರು illiterates (ನಿರಕ್ಷರರು). ಇವರ ಮಾನಸಿಕ ಸ್ಥಿತಿ illiteracy (ನಿರಕ್ಷರತೆ). ಈ ಸಾಮ್ಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಹಾಫ್‌ಸ್ಟ್ಯಾಡ್ಟರ್‌number (ಸಂಖ್ಯೆ)ಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ಓದಲಾಗದವರಿಗೆ ಅಥವಾ ಓದಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಅರ್ಥಗ್ರಹಿಸಲಾಗದವರಿಗೆ innumerates (ನಿಸ್ಸಂಖ್ಯರು) ಎಂಬ ಹೆಸರು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ. ಇವರ ಮಾನಸಿಕ ಸ್ಥಿತಿ innumeracy (ನಿಸ್ಸಂಖ್ಯತೆ).

ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಸ್ಸಂಖ್ಯತೆ ಎಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ ಯಾವುದೋ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಸಂವೇದನರಾಹಿತ್ಯ. ಇದು ಅಸಂಖ್ಯತೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮಾನಸಿಕ ಸ್ಥಿತಿ. ಅಸಂಖ್ಯತೆಯ ಮತ್ತು ನಿಸ್ಸಂಖ್ಯತೆಯ ಗಡಿಗಳು ಒಂದೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಭಿನ್ನ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿಯಂತೂ ಹೇಗೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯೇ “ಡಾ.ರಾಜಕುಮಾರರ ಕನ್ನಡ ಜಾಥಾದಲ್ಲಿ ಅಸಂಖ್ಯ ಅಭಿಮಾನಿಗಳು ಭಾಗಿಗಳಾಗಿದ್ದರು” ಎನ್ನುವಾಗ ಪ್ರಕಟವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಅಜ್ಞಾನ. ಮತ್ತು “ಆಕಾಶಗಂಗೆಯಲ್ಲಿರುವ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ನಾನೂರು ಬಿಲಿಯನ್‌(4×1011) ಎಂದೂ ನಮಗೆ ಗೋಚರವಾಗುವ ವಿಶ್ವಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನಕ್ಷತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿಲಿಯನ್‌ಟ್ರಿಲಿಯನ್‌(1021) ಎಂದೂ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಈ ಎರಡೂ ಹೇಳಿಕೆಗಳೂ ನನಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಯೇ ಅರ್ಥರಹಿತ ವ್ಯರ್ಥಾಲಾಪಗಳು” ಎನ್ನುವಾಗ ಪ್ರಕಟವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಅಜ್ಞಾನ ಬೇರೆ ಬೇರೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಅಸಂಖ್ಯತೆ, ಎರಡನೆಯದು ನಿಸ್ಸಂಖ್ಯತೆ. ಮೊದಲನೆಯದರ ತಳದಲ್ಲಿ ಮುಗ್ಧ ಅಜ್ಞಾನವಿದ್ದರೆ ಎರಡನಡಯದರ ತಳದಲ್ಲಿ ಪರಿಣತನ ಅಹಂಕಾರವಿರುತ್ತದೆ. ಎಂದೇ ಎರಡನೆಯದು ಅಧಿಕ ಅಪಾಯಕಾರಿ.

—-

  1. Mathematical Themas by Douglas R.Hofstadter, Scientific American, May 1982
  2. ಕನ್ನಡ ವಾಲ್ಮೀಕಿರಾಮಾಯಣ – ಸಿ.ಎನ್‌. ಶ್ರೀನಿವಾಸ ಅಯ್ಯಂಗಾರ್‌
  3. ಗೂಗಾಲ್‌ಪ್ಲೆಕ್ಸ್‌(googolplex)ಕನ್ನಡ ವಿಶ್ವಕೋಶ ಸಂಪುಟ 6. ಅಮೆರಿಕದ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆ, ಬೃಹತ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಉಪಾಧ್ಯಾಯರು ವಿವರಣೆ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1ರ ಬಲಕ್ಕೆ ನೂರುಸೊನ್ನೆ ಬರೆದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಸಮಖ್ಯೆ, ಇದಕ್ಕೊಂದು ಹೆಸರು ಸೂಚಿಸಬೇಕೆಂದು ತರಗತಿಗೆ ಸವಾಲೊಡ್ಡಿದಾಗ ಮಿಲ್ಟನ್‌ಸಿರೋಟ ಎಂಬ ಒಂಬತ್ತು ವರ್ಷದ ಅಣುಗ ‘ಗೂಗಾಲ್‌’ ಪದ ಹೇಳಿದ (1955). 1 ಗೂಗಾಲ್‌ = 10100, ಗೂಗಾಲ್‌ಪ್ಲೆಕ್ಸ್‌ಪದದ ಕರ್ತೃವೂ ಇವನ್ನೇ. 10ನ್ನು ಗೂಗಾಲ್‌ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದು ಗೂಗಾಲ್‌ಪ್ಲೆಕ್ಸಿನ ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪ ಬರೆಯಲು ಸಮಗ್ರ ವಿಶ್ವದ (universe) ವಿಸ್ತಾರ ಕೂಡ ಸಾಲದು.
  4. ಡೇವಿಡ್‌ಹಿಲ್‌ಬರ್ಟ್, 1862 – 1943, ಎಂಬ ಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸರ ಮಾತು: “ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಮಾನವನ ರಾಗ ಭಾವಗಳನ್ನು ಅನಂತದಷ್ಟು ಕಲಕಿದ ಪ್ರಶ್ನೆ ಬೇರೊಂದಿಲ್ಲ. ಬೇರಾವ ಭಾವನೆಯೂ ಇಷ್ಟು ಫಲಪ್ರದವಾಗಿ ಅವನನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸಿಯೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದರೂ ಬೇರಾವುದಕ್ಕೂ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬೇಡ, ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲೆಲ್ಲೂ ಅನಂತವನ್ನು ಅರಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕೆ ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಒಂದು ವೈಚಾರಿಕ ಭಾವನೆಗೆ ಅದು ಸಮರ್ಪಕ ತಳಹದಿ ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ…..ವಾಸ್ತವತೆಗೂ ಕಲ್ಪನೆಗೂ ಇರುವ ಅದ್ಭುತ ಬಾಂದವ್ಯ ಅನಂತ. ಅನಂತದ ಸ್ವರಮೇಳವೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣಗಣಿತ.”
  5. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರಿತ್ರೆಸಿ.ಎನ್‌. ಶ್ರೀನಿವಾಸ ಅಯ್ಯಂಗಾರ್‌, ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಪ್ರಕಟಣೆ.

(1997).